与えられた式 $(x+2)(x+5)(x-4)(x-1)$ を展開し、整理する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2)(x+5)(x-4)(x-1)$ を展開し、整理する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を適切な順序でグループ化し、展開を容易にします。$(x+2)$ と $(x-1)$, $(x+5)$ と $(x-4)$ をそれぞれペアにして展開します。

$(x+2)(x-1) = x^2 -x + 2x -2 = x^2 + x - 2$

$(x+5)(x-4) = x^2 -4x + 5x -20 = x^2 + x - 20$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 + x - 2)(x^2 + x - 20)$

ここで、$A = x^2 + x$ と置くと、

$(A - 2)(A - 20) = A^2 - 20A - 2A + 40 = A^2 - 22A + 40$

$A = x^2 + x$ を代入します。

$(x^2 + x)^2 - 22(x^2 + x) + 40 = (x^4 + 2x^3 + x^2) - 22x^2 - 22x + 40$

整理すると、

$x^4 + 2x^3 + x^2 - 22x^2 - 22x + 40 = x^4 + 2x^3 - 21x^2 - 22x + 40$

3. 最終的な答え

$x^4 + 2x^3 - 21x^2 - 22x + 40$