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$n$ は自然数、$x_1, x_2, ..., x_{2n}$ は0以上の整数とする。以下の3つの式について考える。 (1) $\sum_{k=1}^{n} x_k \leq n$ (2) $\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n$ (3) $\sum_{k=1}^{n} x_k = m$ (ただし、$m$ は $0 \leq m \leq n$ を満たす整数)のとき、(2)と(3)を満たす0以上の整数の組 $(x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{2n})$ の個数を $m, n$ で表せ。 (4) $1 \leq m \leq n$ を満たす整数 $m$ に対して、${}_{2n+m-2}C_{2n-2} = {}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-2}C_{2n-1}$ を示せ。 (5) (1)かつ(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 $(x_1, x_2, ..., x_{2n})$ の個数を $n$ で表せ。

離散数学組み合わせ重複組み合わせ二項係数
2025/5/8
はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を記述します。

1. 問題の内容

nn は自然数、x1,x2,...,x2nx_1, x_2, ..., x_{2n} は0以上の整数とする。以下の3つの式について考える。
(1) ∑k=1nxk≤n\sum_{k=1}^{n} x_k \leq n
(2) ∑k=n+12nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n
(3) ∑k=1nxk=m\sum_{k=1}^{n} x_k = m (ただし、mm は 0≤m≤n0 \leq m \leq n を満たす整数)のとき、(2)と(3)を満たす0以上の整数の組 (xn+1,xn+2,...,x2n)(x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{2n}) の個数を m,nm, n で表せ。
(4) 1≤m≤n1 \leq m \leq n を満たす整数 mm に対して、2n+m−2C2n−2=2n+m−1C2n−1−2n+m−2C2n−1{}_{2n+m-2}C_{2n-2} = {}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-2}C_{2n-1} を示せ。
(5) (1)かつ(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 (x1,x2,...,x2n)(x_1, x_2, ..., x_{2n}) の個数を nn で表せ。

2. 解き方の手順

(1)
∑k=n+12nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n を満たす0以上の整数の組 (xn+1,xn+2,...,x2n)(x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{2n}) の個数を求める。これは、xn+1+xn+2+...+x2n=2nx_{n+1} + x_{n+2} + ... + x_{2n} = 2n を満たす0以上の整数の組の個数に等しい。これは重複組み合わせの問題であり、求める個数は 2n+(n−1)Cn−1=3n−1Cn−1{}_{2n + (n - 1)}C_{n - 1} = {}_{3n - 1}C_{n - 1} 個である。
ここで、∑k=1nxk=m\sum_{k=1}^{n} x_k = m という条件は、xn+1,xn+2,...,x2nx_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{2n} には影響を与えないので、求める個数は mm に依存しない。
(2)
nCr=n−1Cr+n−1Cr−1{}_{n}C_{r} = {}_{n-1}C_{r} + {}_{n-1}C_{r-1} というパスカルの法則を用いる。
2n+m−1C2n−1−2n+m−2C2n−1=2n+m−2C2n−2{}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-2}C_{2n-1} = {}_{2n+m-2}C_{2n-2} を示す。
2n+m−1C2n−1=2n+m−2C2n−1+2n+m−2C2n−2{}_{2n+m-1}C_{2n-1} = {}_{2n+m-2}C_{2n-1} + {}_{2n+m-2}C_{2n-2} より、2n+m−1C2n−1−2n+m−2C2n−1=2n+m−2C2n−2{}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-2}C_{2n-1} = {}_{2n+m-2}C_{2n-2} が成り立つ。
(3)
求める個数は、∑k=1nxk≤n\sum_{k=1}^{n} x_k \leq n かつ ∑k=n+12nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n を満たす0以上の整数の組 (x1,x2,...,x2n)(x_1, x_2, ..., x_{2n}) の個数である。
∑k=1nxk=m\sum_{k=1}^{n} x_k = m となる場合を考えると、 m=0,1,2,...,nm = 0, 1, 2, ..., n である。
各 mm に対して、∑k=1nxk=m\sum_{k=1}^{n} x_k = m を満たす0以上の整数の組 (x1,x2,...,xn)(x_1, x_2, ..., x_n) の個数は m+(n−1)Cn−1=m+n−1Cn−1{}_{m + (n - 1)}C_{n - 1} = {}_{m+n-1}C_{n-1} 個である。
また、∑k=n+12nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n を満たす0以上の整数の組 (xn+1,xn+2,...,x2n)(x_{n+1}, x_{n+2}, ..., x_{2n}) の個数は 2n+(n−1)Cn−1=3n−1Cn−1{}_{2n + (n - 1)}C_{n - 1} = {}_{3n-1}C_{n-1} 個である。
したがって、求める個数は ∑m=0nm+n−1Cn−1⋅3n−1Cn−1=3n−1Cn−1∑m=0nm+n−1Cn−1\sum_{m=0}^{n} {}_{m+n-1}C_{n-1} \cdot {}_{3n-1}C_{n-1} = {}_{3n-1}C_{n-1} \sum_{m=0}^{n} {}_{m+n-1}C_{n-1} である。
ここで、∑m=0nm+n−1Cn−1=∑m=0nm+n−1Cm=2nCn\sum_{m=0}^{n} {}_{m+n-1}C_{n-1} = \sum_{m=0}^{n} {}_{m+n-1}C_{m} = {}_{2n}C_{n}
したがって、求める個数は 3n−1Cn−1⋅2nCn{}_{3n-1}C_{n-1} \cdot {}_{2n}C_{n} 個である。

3. 最終的な答え

(1) 3n−1Cn−1{}_{3n-1}C_{n-1}
(2) 2n+m−2C2n−2=2n+m−1C2n−1−2n+m−2C2n−1{}_{2n+m-2}C_{2n-2} = {}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-2}C_{2n-1}
(3) 2nCn⋅3n−1Cn−1{}_{2n}C_{n} \cdot {}_{3n-1}C_{n-1}

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