与えられた式 $x^4 - 8x^2 + 4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 8x^2 + 4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は複二次式なので、一度 $x^2 = A$ と置いてみます。すると、

$A^2 - 8A + 4$

となります。しかし、この式は有理数の範囲で因数分解できません。

そこで、$x^4 - 8x^2 + 4$ を無理やり平方の差の形に持ち込みます。

$x^4 + 4x^2 + 4 - 12x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2\sqrt{3}x)^2$

と変形します。これにより、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形が利用できます。

したがって、

$(x^2 + 2)^2 - (2\sqrt{3}x)^2 = (x^2 + 2\sqrt{3}x + 2)(x^2 - 2\sqrt{3}x + 2)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2\sqrt{3}x + 2)(x^2 - 2\sqrt{3}x + 2)$