与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、式を整理します。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = a^2b - ca^2 - ab^2 + c^2a + b^2c - bc^2$

$= a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + bc(b-c)$

$= a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)$

ここで、$b-c$ が共通因数なので、くくりだします。

$= (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$

$= (b-c)(a^2 - ab - ac + bc)$

さらに、$a$と$b$，$a$と$c$でそれぞれくくりだします。

$= (b-c)(a(a-b) - c(a-b))$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

最後に、順番を整理します。

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$