関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ は下に凸な放物線です。

まず、$x$ の変域に $x = 0$ が含まれているかどうかを確認します。今回の変域 $-2 \le x \le 4$ は $x = 0$ を含んでいます。

したがって、$y$ の最小値は $x = 0$ のときの $y$ の値、つまり $y = \frac{1}{4}(0)^2 = 0$ となります。

次に、$x = -2$ と $x = 4$ のときの $y$ の値を計算し、どちらが大きいか調べます。

$x = -2$ のとき、

$y = \frac{1}{4}(-2)^2 = \frac{1}{4}(4) = 1$

$x = 4$ のとき、

$y = \frac{1}{4}(4)^2 = \frac{1}{4}(16) = 4$

$x = 4$ のときの $y$ の値の方が大きいため、$y$ の最大値は $4$ となります。

したがって、$y$ の変域は $0 \le y \le 4$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le y \le 4$