与えられた分数式の値を求める問題です。具体的には、以下の式を計算します。 $\frac{\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1}}$

1. 問題の内容

与えられた分数式の値を求める問題です。具体的には、以下の式を計算します。

$\frac{\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1}}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ計算します。

分子の計算：

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1) - (x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)}{x^2 - 1} = \frac{4x}{x^2 - 1}$

分母の計算：

$\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1) + (x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1)}{x^2 - 1} = \frac{2x^2 + 2}{x^2 - 1}$

次に、分子を分母で割ります。

$\frac{\frac{4x}{x^2 - 1}}{\frac{2x^2 + 2}{x^2 - 1}} = \frac{4x}{x^2 - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{2x^2 + 2} = \frac{4x}{2x^2 + 2} = \frac{2x}{x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2x}{x^2 + 1}$