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与えられた分数式の値を求める問題です。具体的には、以下の式を計算します。 $\frac{\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1}}$

代数学分数式式の計算代数
2025/3/20

1. 問題の内容

与えられた分数式の値を求める問題です。具体的には、以下の式を計算します。
x+1x−1−x−1x+1x+1x−1+x−1x+1\frac{\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}}{\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1}}

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ計算します。
分子の計算：
x+1x−1−x−1x+1=(x+1)(x+1)−(x−1)(x−1)(x−1)(x+1)=(x2+2x+1)−(x2−2x+1)x2−1=4xx2−1\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1) - (x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)}{x^2 - 1} = \frac{4x}{x^2 - 1}
分母の計算：
x+1x−1+x−1x+1=(x+1)(x+1)+(x−1)(x−1)(x−1)(x+1)=(x2+2x+1)+(x2−2x+1)x2−1=2x2+2x2−1\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1) + (x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1)}{x^2 - 1} = \frac{2x^2 + 2}{x^2 - 1}
次に、分子を分母で割ります。
4xx2−12x2+2x2−1=4xx2−1⋅x2−12x2+2=4x2x2+2=2xx2+1\frac{\frac{4x}{x^2 - 1}}{\frac{2x^2 + 2}{x^2 - 1}} = \frac{4x}{x^2 - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{2x^2 + 2} = \frac{4x}{2x^2 + 2} = \frac{2x}{x^2 + 1}

3. 最終的な答え

2xx2+1\frac{2x}{x^2 + 1}

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