与えられた連分数を簡略化します。連分数は次の通りです。 $$ \frac{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} $$

1. 問題の内容

与えられた連分数を簡略化します。連分数は次の通りです。

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\frac{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}

$$$$

2. 解き方の手順

まず、分子を簡略化します。

$1-\frac{1}{1-x} = \frac{1-x-1}{1-x} = \frac{-x}{1-x}$

$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = \frac{1}{\frac{-x}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{x-1}{x}$

$1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = 1 - \frac{x-1}{x} = \frac{x-(x-1)}{x} = \frac{1}{x}$

次に、分母を簡略化します。

$1+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$

$\frac{1}{1+\frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$

$1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-x}{x+1} = \frac{1}{x+1}$

したがって、連分数は次のようになります。

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\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x+1}}

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\frac{1}{x} \cdot \frac{x+1}{1} = \frac{x+1}{x}

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3. 最終的な答え

$\frac{x+1}{x}$