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与えられた連分数を簡略化します。連分数は次の通りです。 $$ \frac{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} $$

代数学連分数分数式式の簡略化
2025/3/20

1. 問題の内容

与えられた連分数を簡略化します。連分数は次の通りです。
\frac{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}

2. 解き方の手順

まず、分子を簡略化します。
1−11−x=1−x−11−x=−x1−x1-\frac{1}{1-x} = \frac{1-x-1}{1-x} = \frac{-x}{1-x}
11−11−x=1−x1−x=1−x−x=x−1x\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = \frac{1}{\frac{-x}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{x-1}{x}
1−11−11−x=1−x−1x=x−(x−1)x=1x1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = 1 - \frac{x-1}{x} = \frac{x-(x-1)}{x} = \frac{1}{x}
次に、分母を簡略化します。
1+1x=x+1x1+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}
11+1x=1x+1x=xx+1\frac{1}{1+\frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}
1−11+1x=1−xx+1=x+1−xx+1=1x+11-\frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-x}{x+1} = \frac{1}{x+1}
したがって、連分数は次のようになります。
\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x+1}}
\frac{1}{x} \cdot \frac{x+1}{1} = \frac{x+1}{x}

3. 最終的な答え

x+1x\frac{x+1}{x}

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