東西に6本、南北に7本の道がある街で、PからQまで、PからRを通ってQまで、PからRを通らずにQまで行く場合の最短経路の数を求める問題です。

1. 問題の内容

東西に6本、南北に7本の道がある街で、PからQまで、PからRを通ってQまで、PからRを通らずにQまで行く場合の最短経路の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く場合

PからQまで最短距離で行くには、東に5区画、南に6区画進む必要があります。

したがって、合計11回の移動のうち、東に5回移動する方法の数を求めればよいので、組み合わせの式で計算できます。

$_{11}C_5 = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

(2) PからRを通ってQまで行く場合

まずPからRまで最短距離で行く方法の数を計算します。

PからRまで最短距離で行くには、東に2区画、南に3区画進む必要があります。

したがって、合計5回の移動のうち、東に2回移動する方法の数を求めればよいので、組み合わせの式で計算できます。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次にRからQまで最短距離で行く方法の数を計算します。

RからQまで最短距離で行くには、東に3区画、南に3区画進む必要があります。

したがって、合計6回の移動のうち、東に3回移動する方法の数を求めればよいので、組み合わせの式で計算できます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

PからRを通ってQまで行く場合の数は、PからRまでの経路の数とRからQまでの経路の数を掛け合わせたものです。

$10 \times 20 = 200$

(3) PからRを通らずにQまで行く場合

PからQまで行くすべての経路の数から、PからRを通ってQまで行く経路の数を引けば、PからRを通らずにQまで行く経路の数が求まります。

$462 - 200 = 262$

3. 最終的な答え

(1) PからQまで行く道順：462通り

(2) PからRを通ってQまで行く道順：200通り

(3) PからRを通らずにQまで行く道順：262通り