与えられた2つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-1}^1 (2x+1)^3 dx$ (2) $\int_{-1}^1 (x^2+2x+1) dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-1}^1 (2x+1)^3 dx$

(2) $\int_{-1}^1 (x^2+2x+1) dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(2x+1)^3$を展開します。

$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

次に、積分を計算します。

$\int_{-1}^1 (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) dx = [2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x]_{-1}^1$

$= (2(1)^4 + 4(1)^3 + 3(1)^2 + 1) - (2(-1)^4 + 4(-1)^3 + 3(-1)^2 + (-1))$

$= (2 + 4 + 3 + 1) - (2 - 4 + 3 - 1) = 10 - 0 = 10$

(2)

まず、$x^2+2x+1$を因数分解します。

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

次に、積分を計算します。

$\int_{-1}^1 (x+1)^2 dx = \int_{-1}^1 (x^2 + 2x + 1) dx = [\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x]_{-1}^1$

$= (\frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 + (1)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + (-1))$

$= (\frac{1}{3} + 1 + 1) - (-\frac{1}{3} + 1 - 1) = \frac{1}{3} + 2 + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 8/3