ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 0)$ とベクトル $\vec{b} = (6, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが3であるベクトル $\vec{p}$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 0)$ とベクトル $\vec{b} = (6, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが3であるベクトル $\vec{p}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ とベクトル $\vec{b}$ に垂直なベクトルは、これらのベクトルの外積に平行である。

まず、ベクトル $\vec{a}$ とベクトル $\vec{b}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1) - (0)(-2) \\ (0)(6) - (2)(1) \\ (2)(-2) - (-1)(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

次に、$\vec{a} \times \vec{b}$ の大きさを計算する。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

求めるベクトル $\vec{p}$ は $\vec{a} \times \vec{b}$ に平行で、大きさが3である。

したがって、$\vec{p} = k(\vec{a} \times \vec{b})$ と書ける。ここで $k$ はスカラーである。

$|\vec{p}| = |k(\vec{a} \times \vec{b})| = |k| |\vec{a} \times \vec{b}| = |k| \cdot 3 = 3$

よって、 $|k| = 1$ であるから、$k = 1$ または $k = -1$ である。

$k = 1$ のとき、 $\vec{p} = \vec{a} \times \vec{b} = (-1, -2, 2)$

$k = -1$ のとき、 $\vec{p} = -(\vec{a} \times \vec{b}) = (1, 2, -2)$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = (-1, -2, 2)$ または $\vec{p} = (1, 2, -2)$