与えられた定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-1}^{2}(5x-x^2)dx + \int_{-1}^{2}(2x^2-4x)dx$ を計算します。 (2) $\int_{-1}^{0}x(x-1)dx + \int_{0}^{2}x(x-1)dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-1}^{2}(5x-x^2)dx + \int_{-1}^{2}(2x^2-4x)dx$ を計算します。

(2) $\int_{-1}^{0}x(x-1)dx + \int_{0}^{2}x(x-1)dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) まず、積分をまとめます。

$\int_{-1}^{2}(5x-x^2)dx + \int_{-1}^{2}(2x^2-4x)dx = \int_{-1}^{2}((5x-x^2)+(2x^2-4x))dx$

次に、被積分関数を整理します。

$5x-x^2+2x^2-4x = x^2+x$

よって、求める積分は

$\int_{-1}^{2}(x^2+x)dx$

積分を実行します。

$\int_{-1}^{2}(x^2+x)dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2]_{-1}^{2} = (\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2) - (\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2) = (\frac{8}{3} + 2) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = \frac{14}{3} - \frac{1}{6} = \frac{28}{6} - \frac{1}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

(2) まず、被積分関数を展開します。

$x(x-1) = x^2-x$

与えられた積分は

$\int_{-1}^{0}(x^2-x)dx + \int_{0}^{2}(x^2-x)dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^{0}(x^2-x)dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{-1}^{0} = (0) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2) = 0 - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

$\int_{0}^{2}(x^2-x)dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{0}^{2} = (\frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2) - (0) = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、

$\int_{-1}^{0}(x^2-x)dx + \int_{0}^{2}(x^2-x)dx = \frac{5}{6} + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) の答え: $\frac{9}{2}$

(2) の答え: $\frac{3}{2}$