与えられた5つの極限値を計算します。 1. $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{\sin x}}$

1. 問題の内容

与えられた5つの極限値を計算します。

1. $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{\sin x}}$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - \cos 4x}$

3. $\lim_{x \to 0} (\frac{a_1^x + a_2^x}{2})^{\frac{1}{x}}$

4. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2^{\sin x} - 2}{\log \sin x}$

5. $\lim_{x \to -\infty} (\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2})^{\frac{1}{x}}$ （ただし、$a_1 \neq 0$、$a_2 \neq 0$）

2. 解き方の手順

1. $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{\sin x}}$ は、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{\sin x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\sin x}} = \lim_{x \to 0} \sqrt{x} \sqrt{\frac{x}{\sin x}} = \sqrt{0} \cdot \sqrt{1} = 0$.

2. $\lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - \cos 4x}$ は、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - \cos 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sin 4x}$

これは、$x \to 0$ のとき $\sin 4x \to 0$ なので、発散する。

ただし、1 - cos(4x) = 2sin^2(2x)と変形すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - \cos 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2 \sin^2 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \frac{x}{4 x^2 (\frac{\sin 2x}{2x})^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{8x} \frac{1}{(\frac{\sin 2x}{2x})^2}$

となり、x->0で発散する。

3. $\lim_{x \to 0} (\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2})^{\frac{1}{x}}$

$y = (\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2})^{\frac{1}{x}}$ とおくと、

$\log y = \frac{1}{x} \log(\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2})$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2}} \cdot \frac{|a_1|^x \log |a_1| + |a_2|^x \log |a_2|}{2}}{1} = \frac{\frac{1}{\frac{1+1}{2}} \cdot \frac{\log |a_1| + \log |a_2|}{2}}{1} = \frac{\log |a_1| + \log |a_2|}{2} = \log \sqrt{|a_1| |a_2|}$

よって、$\lim_{x \to 0} y = \sqrt{|a_1| |a_2|}$

4. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2^{\sin x} - 2}{\log \sin x}$

$y = \sin x$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $y \to 1$ なので、

$\lim_{y \to 1} \frac{2^y - 2}{\log y}$

さらに $z = y-1$ とおくと、$y \to 1$ のとき $z \to 0$ なので、

$\lim_{z \to 0} \frac{2^{z+1} - 2}{\log (z+1)} = \lim_{z \to 0} \frac{2(2^z - 1)}{\log (z+1)}$

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{z \to 0} \frac{2 \cdot 2^z \log 2}{\frac{1}{z+1}} = \lim_{z \to 0} 2 (z+1) 2^z \log 2 = 2 \log 2$

5. $\lim_{x \to -\infty} (\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2})^{\frac{1}{x}}$

$a = |a_1|$、$b = |a_2|$ とおくと、$a > 0, b > 0$

$a < b$ と仮定すると、

$\lim_{x \to -\infty} (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} (\frac{b^x ((\frac{a}{b})^x + 1)}{2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} b (\frac{(\frac{a}{b})^x + 1}{2})^{\frac{1}{x}} = b \lim_{x \to -\infty} (\frac{(\frac{a}{b})^x + 1}{2})^{\frac{1}{x}}$

$x \to -\infty$ のとき $(\frac{a}{b})^x \to \infty$ なので、不定形。

$a > b$ と仮定すると、

$\lim_{x \to -\infty} (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} (\frac{a^x (1 + (\frac{b}{a})^x)}{2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} a (\frac{1 + (\frac{b}{a})^x}{2})^{\frac{1}{x}} = a \lim_{x \to -\infty} (\frac{1 + (\frac{b}{a})^x}{2})^{\frac{1}{x}}$

$x \to -\infty$ のとき $(\frac{b}{a})^x \to \infty$ なので、不定形。

小さい方をくくり出す。

例えば、$|a_1|<|a_2|$とすると、

$\lim_{x \to -\infty} (\frac{|a_1|^x + |a_2|^x}{2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} (\frac{|a_1|^x(1 + (\frac{|a_2|}{|a_1|})^x)}{2})^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to -\infty}|a_1| (\frac{1+(\frac{|a_2|}{|a_1|})^x}{2})^{\frac{1}{x}}=|a_1| \lim_{x \to -\infty} (\frac{|a_2|^x}{2})^{\frac{1}{x}}=|a_1| \cdot |a_2|^{1/x} \cdot 2^{-1/x} = |a_1|$

3. 最終的な答え

1. 0

2. 発散

3. $\sqrt{|a_1| |a_2|}$

4. $2 \log 2$

5. $\min\{|a_1|,|a_2|\}$