与えられた積分の問題を解きます。積分は以下の通りです。 $\int \frac{1}{\sqrt{4x - x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。積分は以下の通りです。

$\int \frac{1}{\sqrt{4x - x^2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、根号の中を平方完成します。

$4x - x^2 = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -( (x-2)^2 - 4) = 4 - (x-2)^2$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} dx$

次に、変数変換を行います。$x-2 = 2\sin\theta$とおくと、$dx = 2\cos\theta d\theta$となります。

これを積分に代入すると、

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - (2\sin\theta)^2}} 2\cos\theta d\theta = \int \frac{2\cos\theta}{\sqrt{4 - 4\sin^2\theta}} d\theta = \int \frac{2\cos\theta}{\sqrt{4(1 - \sin^2\theta)}} d\theta$

$= \int \frac{2\cos\theta}{2\sqrt{\cos^2\theta}} d\theta = \int \frac{\cos\theta}{\cos\theta} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

ここで、$\theta = \arcsin(\frac{x-2}{2})$なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{4x - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x-2}{2}) + C$

3. 最終的な答え

$\arcsin(\frac{x-2}{2}) + C$