関数 $f(x) = \log_5(21+4x-x^2)$ の定義域と値域を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log_5(21+4x-x^2)$ の定義域と値域を求める。

2. 解き方の手順

まず、定義域を求める。対数関数 $\log_5(y)$ が定義されるためには、真数 $y$ が正である必要がある。したがって、$21+4x-x^2 > 0$ を満たす $x$ の範囲が定義域となる。

不等式を変形して、$x^2-4x-21<0$ を得る。

左辺を因数分解すると、$(x-7)(x+3)<0$ となる。

したがって、$-3<x<7$ が定義域である。

次に、値域を求める。

$g(x) = 21+4x-x^2$ とおく。$g(x)$ を平方完成すると、

$g(x) = -(x^2-4x) + 21 = -(x^2-4x+4) + 4 + 21 = -(x-2)^2 + 25$

となる。$g(x)$ は $x=2$ で最大値 $25$ をとる。

定義域は $-3 < x < 7$ であり、$x=2$ はこの範囲に含まれる。

$x=-3$ のとき、$g(-3) = 21+4(-3)-(-3)^2 = 21-12-9 = 0$

$x=7$ のとき、$g(7) = 21+4(7)-(7)^2 = 21+28-49 = 0$

したがって、$-3<x<7$ において、$0<g(x)\le 25$ である。

$f(x) = \log_5(g(x))$ であり、$g(x)$ の範囲は $0<g(x)\le 25$ であるから、

$f(x)$ の値域は、$\log_5(0)$ から $\log_5(25)$ までの範囲となる。

$\log_5(25) = \log_5(5^2) = 2$ である。

$g(x)>0$ より、$f(x)$ は$-\infty$に近づくことができる。

したがって、値域は $-\infty < f(x) \le 2$ となる。

3. 最終的な答え

定義域: $-3 < x < 7$

値域: $f(x) \le 2$