3つの直線 $x - 2y + 9 = 0$, $3x + y - 1 = 0$, $ax - y + 5 = 0$ が三角形を作らないときの定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3つの直線 $x - 2y + 9 = 0$, $3x + y - 1 = 0$, $ax - y + 5 = 0$ が三角形を作らないときの定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

3つの直線が三角形を作らないのは、次のいずれかの条件が成り立つときです。

(1) 3つの直線がすべて平行である。

(2) 3つの直線のうち2つが平行である。

(3) 3つの直線が1点で交わる。

まず、それぞれの直線の傾きを求めます。

$x - 2y + 9 = 0$ より $2y = x + 9$, よって $y = \frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$ なので、傾きは $\frac{1}{2}$ です。

$3x + y - 1 = 0$ より $y = -3x + 1$ なので、傾きは $-3$ です。

$ax - y + 5 = 0$ より $y = ax + 5$ なので、傾きは $a$ です。

(1) 3つの直線がすべて平行になることはありません。なぜなら、最初の2つの直線の傾き $\frac{1}{2}$ と $-3$ が異なるからです。

(2) 3つの直線のうち2つが平行である場合を考えます。

- $x - 2y + 9 = 0$ と $ax - y + 5 = 0$ が平行のとき、$a = \frac{1}{2}$ です。

- $3x + y - 1 = 0$ と $ax - y + 5 = 0$ が平行のとき、$a = -3$ です。

(3) 3つの直線が1点で交わる場合を考えます。

まず、$x - 2y + 9 = 0$ と $3x + y - 1 = 0$ の交点を求めます。

$x - 2y + 9 = 0$ より $x = 2y - 9$ を $3x + y - 1 = 0$ に代入すると、

$3(2y - 9) + y - 1 = 0$

$6y - 27 + y - 1 = 0$

$7y = 28$

$y = 4$

$x = 2(4) - 9 = 8 - 9 = -1$

交点は $(-1, 4)$ です。

この交点 $(-1, 4)$ が $ax - y + 5 = 0$ 上にあるとき、

$a(-1) - 4 + 5 = 0$

$-a + 1 = 0$

$a = 1$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}, -3, 1$