行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ とベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A\vec{x}$ を計算し、その第1成分の計算方法として適切なものを選択肢から選びます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ とベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A\vec{x}$ を計算し、その第1成分の計算方法として適切なものを選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

まず、$A\vec{x}$ を計算します。

$$A\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

行列とベクトルの積を計算します。

第1成分は、行列 $A$ の第1行とベクトル $\vec{x}$ の内積になります。

$$(4)(-2) + (-1)(1) = -8 - 1 = -9$$

第2成分は、行列 $A$ の第2行とベクトル $\vec{x}$ の内積になります。

$$(-2)(-2) + (-1)(1) = 4 - 1 = 3$$

したがって、$A\vec{x} = \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \end{pmatrix}$ となります。

第1成分の計算は、$(4, -1)$ と $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ の内積であるため、選択肢の中からこれに合致するものを選びます。

3. 最終的な答え

第1成分は、$(4, -1)$ と $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ の内積のような計算になります。