$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $s+t=2$, $s \geq 0$, $t \geq 0$ を満たす点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $s+t=2$, $s \geq 0$, $t \geq 0$ を満たす点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$s+t = 2$ より、$t = 2-s$ であるから、

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + (2-s)\overrightarrow{OB} = s\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} - s\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OB} + s(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) = 2\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{BA}$

ここで、$\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OB}$ となる点 $A'$ を考えると、$s+t = 2$ かつ $s\geq 0, t \geq 0$ より、$s \geq 0$ かつ $2-s \geq 0$ であるから、$0 \leq s \leq 2$ である。

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA'} + s\overrightarrow{BA}$

これは点 $P$ が点 $A'$ を通りベクトル $\overrightarrow{BA}$ に平行な直線上にあることを示しており、$0 \leq s \leq 2$ より、点 $P$ は、$A'$ から $2\overrightarrow{BA}$ 進んだ点まで存在する。

ここで、点 $C$ を $\overrightarrow{A'C} = 2\overrightarrow{BA}$ となる点とすると、点 $P$ は線分 $A'C$ 上にある。

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{A'C} = 2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{OB} + 2(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = 2\overrightarrow{OA}$

よって、点 $C$ は $\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA}$ となる点である。

したがって、点 $P$ の存在範囲は、点 $A'$ ($\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OB}$) と点 $C$ ($\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA}$) を結ぶ線分である。

3. 最終的な答え

点 $P$ の存在範囲は、点 $A'$ ($\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OB}$) と点 $C$ ($\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA}$) を結ぶ線分 $A'C$ である。