$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$、かつ $s + t = 2$、$s \geq 0$、$t \geq 0$ を満たす点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$、かつ $s + t = 2$、$s \geq 0$、$t \geq 0$ を満たす点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$s+t = 2$ より、$t = 2 - s$ となります。これを $\overrightarrow{OP}$ の式に代入すると、

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + (2-s)\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} - s\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OB} + s(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB})$

$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BP} = s(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{BP} = s\overrightarrow{BA}$

$s \geq 0$、$t \geq 0$ という条件から、$s \geq 0$、$2 - s \geq 0$ となり、よって $0 \leq s \leq 2$ が得られます。

$0 \leq s \leq 2$ という条件から、$\overrightarrow{BP} = s\overrightarrow{BA}$ という関係より、点$P$は点$B$から点$A$に向かうベクトル$\overrightarrow{BA}$の実数倍によって表される点であるので、直線 $BA$ 上の点となります。

また、$0 \leq s \leq 2$ であることから、点$P$の存在する範囲は、点$B$から点$A$方向に、$BA$の長さの2倍まで、つまり線分 $BA$ を $BA'$ となるように延長した範囲上の点となります。

ここで、$s=0$のとき、$t=2$なので $\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OB}$

$s=2$のとき、$t=0$なので $\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OA}$

そこで、$OB'$ を $OB'=2OB$ となるように、$OA'$ を $OA' = 2OA$ となるようにとると、

点$P$の存在範囲は、線分 $A'B'$ 上の点となります。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ で $s + t = 2$ なので、$s' = s/2$, $t' = t/2$ とおくと $s' + t' = 1$ となり、

$\overrightarrow{OP} = 2s'\overrightarrow{OA} + 2t'\overrightarrow{OB} = s'(2\overrightarrow{OA}) + t'(2\overrightarrow{OB})$ となり、

$\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ とすると、

$\overrightarrow{OP} = s'\overrightarrow{OA'} + t'\overrightarrow{OB'}$ となり、$s' + t' = 1$、$s' \geq 0$、$t' \geq 0$ なので、

点$P$は線分 $A'B'$ 上に存在します。

3. 最終的な答え

点$P$の存在範囲は、線分 $A'B'$ 上。ただし、$A'$、$B'$ はそれぞれ $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ を満たす点である。