与えられた置換の積を計算する問題です。問題は以下の3つの部分から構成されています。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $(143)(243)$ (3) $(132)(13)(243)$

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算する問題です。問題は以下の3つの部分から構成されています。

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

(2)

$(143)(243)$

(3)

$(132)(13)(243)$

2. 解き方の手順

(1)

置換の積を計算します。右側の置換を先に行い、その結果に左側の置換を適用します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

計算の詳細：

1 -> 3 -> 4

2 -> 1 -> 2

3 -> 4 -> 1

4 -> 2 -> 3

(2)

巡回置換の積を計算します。右側の置換を先に行い、その結果に左側の置換を適用します。

$(143)(243) = (143)(243) = (1423)$

計算の詳細：

1 -> 1 -> 4

4 -> 3 -> 2

2 -> 4 -> 3

3 -> 2 -> 1

(3)

巡回置換の積を計算します。右側の置換を先に行い、その結果に左側の置換を適用します。

$(132)(13)(243)$

まず、$(132)(13)$を計算します。

$(132)(13) = (12)$

次に、$(12)(243)$を計算します。

$(12)(243) = (1243)$

計算の詳細：

1 -> 3 -> 2

2 -> 4 -> 4

4 -> 2 -> 3

3 -> 1 -> 1

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $(1423)$

(3) $(1243)$