絶対値の不等式 $|x-4| \leq 2x+1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

絶対値の不等式 $|x-4| \leq 2x+1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値の性質より、不等式は以下の2つの場合に分けて考える必要があります。

場合1: $x-4 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq 4$ のとき

このとき、$|x-4| = x-4$ となるので、不等式は

$x-4 \leq 2x+1$

となります。これを解くと、

$-x \leq 5$

$x \geq -5$

となります。$x \geq 4$ と $x \geq -5$ を満たすのは、$x \geq 4$ です。

場合2: $x-4 < 0$ のとき、つまり $x < 4$ のとき

このとき、$|x-4| = -(x-4) = -x+4$ となるので、不等式は

$-x+4 \leq 2x+1$

となります。これを解くと、

$-3x \leq -3$

$x \geq 1$

となります。$x < 4$ と $x \geq 1$ を満たすのは、$1 \leq x < 4$ です。

場合1と場合2を合わせると、$x \geq 4$ または $1 \leq x < 4$ なので、$x \geq 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x \geq 1$