問題は、指数法則を用いて式を簡略化し、空欄を埋める問題です。 具体的には、以下の２つの式について、$a$の指数部分を計算します。 1. $(a^5)^2 \times a^{-7} = a^{\boxed{40}}$

1. 問題の内容

問題は、指数法則を用いて式を簡略化し、空欄を埋める問題です。

具体的には、以下の２つの式について、$a$の指数部分を計算します。

1. $(a^5)^2 \times a^{-7} = a^{\boxed{40}}$

2. $a^3 \div a^{-5} = a^{\boxed{41}}$

2. 解き方の手順

まず、最初の式$(a^5)^2 \times a^{-7}$を簡略化します。

$(a^5)^2 = a^{5 \times 2} = a^{10}$　（指数の積）

したがって、

$a^{10} \times a^{-7} = a^{10 + (-7)} = a^{3}$　（指数の和）

ゆえに、空欄(40)に当てはまる数は3です。

次に、2番目の式$a^3 \div a^{-5}$を簡略化します。

$a^3 \div a^{-5} = a^{3 - (-5)} = a^{3 + 5} = a^8$　（指数の差）

ゆえに、空欄(41)に当てはまる数は8です。

3. 最終的な答え

(40): 3

(41): 8