問題は3つの部分に分かれています。 最初の部分は $ (a^5)^2 \times a^{-7} = a^{\boxed{40}} $ の $\boxed{40}$ を求める問題です。 2番目の部分は $ a^3 \div a^{-5} = a^{\boxed{41}} $ の $\boxed{41}$ を求める問題です。 3番目の部分は $ \sqrt[4]{12} \times \sqrt{30} \div \sqrt{48} \div \sqrt[4]{75} = \frac{\boxed{42}}{\boxed{43}} $ の $\boxed{42}$ と $\boxed{43}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は3つの部分に分かれています。

最初の部分は $(a^5)^2 \times a^{-7} = a^{\boxed{40}}$ の $\boxed{40}$ を求める問題です。

2番目の部分は $a^3 \div a^{-5} = a^{\boxed{41}}$ の $\boxed{41}$ を求める問題です。

3番目の部分は $\sqrt[4]{12} \times \sqrt{30} \div \sqrt{48} \div \sqrt[4]{75} = \frac{\boxed{42}}{\boxed{43}}$ の $\boxed{42}$ と $\boxed{43}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

最初の部分：

$(a^5)^2 \times a^{-7} = a^{5 \times 2} \times a^{-7} = a^{10} \times a^{-7} = a^{10 + (-7)} = a^3$

したがって、$\boxed{40}$ に入る数字は3です。

2番目の部分：

$a^3 \div a^{-5} = a^{3 - (-5)} = a^{3 + 5} = a^8$

したがって、$\boxed{41}$ に入る数字は8です。

3番目の部分：

$\sqrt[4]{12} \times \sqrt{30} \div \sqrt{48} \div \sqrt[4]{75} = \frac{\sqrt[4]{12} \times \sqrt{30}}{\sqrt{48} \times \sqrt[4]{75}}$

$= \frac{\sqrt[4]{12} \times \sqrt{5 \times 6}}{\sqrt{8 \times 6} \times \sqrt[4]{75}} = \frac{\sqrt[4]{12} \times \sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{8} \times \sqrt{6} \times \sqrt[4]{75}}$

$= \frac{\sqrt[4]{12} \times \sqrt{5}}{\sqrt{8} \times \sqrt[4]{75}} = \frac{\sqrt[4]{12} \times \sqrt{5}}{2\sqrt{2} \times \sqrt[4]{75}} = \frac{\sqrt[4]{4 \times 3} \times \sqrt{5}}{2\sqrt{2} \times \sqrt[4]{25 \times 3}}$

$= \frac{\sqrt[4]{4} \times \sqrt[4]{3} \times \sqrt{5}}{2\sqrt{2} \times \sqrt[4]{25} \times \sqrt[4]{3}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt[4]{3} \times \sqrt{5}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt[4]{3}} = \frac{1}{2}$

したがって、$\boxed{42}$ に入る数字は1であり、$\boxed{43}$ に入る数字は2です。

3. 最終的な答え

(40): 3

(41): 8

(42): 1

(43): 2