ベクトル $\vec{a} = (2, k)$ と $\vec{b} = (3, 2k-1)$ が平行であるとき、実数 $k$ の値を求める。 点 $A(3, -2)$, $B(4, 1)$, $C(2, -k)$, $D(k, 4)$ について、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ が平行となるように実数 $k$ の値を定める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, k)$ と $\vec{b} = (3, 2k-1)$ が平行であるとき、実数 $k$ の値を求める。

点 $A(3, -2)$, $B(4, 1)$, $C(2, -k)$, $D(k, 4)$ について、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ が平行となるように実数 $k$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行である条件を考える。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、ある実数 $t$ が存在して $\vec{b} = t \vec{a}$ となる。

つまり、

$(3, 2k-1) = t(2, k)$

よって、

$3 = 2t$

$2k-1 = tk$

$t = \frac{3}{2}$ より、

$2k-1 = \frac{3}{2}k$

$4k - 2 = 3k$

$k = 2$

次に、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ が平行となる条件を考える。

$\overrightarrow{AB} = (4-3, 1-(-2)) = (1, 3)$

$\overrightarrow{CD} = (k-2, 4-(-k)) = (k-2, 4+k)$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ が平行であるとき、ある実数 $s$ が存在して $\overrightarrow{CD} = s \overrightarrow{AB}$ となる。

つまり、

$(k-2, 4+k) = s(1, 3)$

よって、

$k-2 = s$

$4+k = 3s$

$s = k-2$ を $4+k = 3s$ に代入すると、

$4+k = 3(k-2)$

$4+k = 3k-6$

$2k = 10$

$k = 5$

3. 最終的な答え

最初の問題の答えは $k=2$。

次の問題の答えは $k=5$。