与えられた式 $a^2 = 10 - 6\sqrt{2}$ を満たす $a$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 = 10 - 6\sqrt{2}$ を満たす $a$ を求めます。

2. 解き方の手順

$10 - 6\sqrt{2}$ を $(A-B)^2$ の形に変形することを考えます。

$(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ であるので、

$A^2 + B^2 = 10$ かつ $2AB = 6\sqrt{2}$ となる $A$ と $B$ を見つけます。

$AB = 3\sqrt{2}$ となります。

$A = 3$ とすると $B = \sqrt{2}$ となり、

$A^2 + B^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$ となり $10$ にならないので、別の $A$ と $B$ を考えます。

$A = \sqrt{x}$ , $B = \sqrt{y}$ とおくと、$A^2 + B^2 = x + y = 10$ かつ $2AB = 2\sqrt{xy} = 6\sqrt{2}$ となります。

この時、$\sqrt{xy} = 3\sqrt{2}$ より、$xy = 18$ となります。

$x + y = 10$ かつ $xy = 18$ を満たす $x$ と $y$ を求めます。

$x$ と $y$ は二次方程式 $t^2 - 10t + 18 = 0$ の解となります。

解の公式より、

$t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(18)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 5 \pm \sqrt{7}$ となります。

したがって、$x = 5 + \sqrt{7}$, $y = 5 - \sqrt{7}$ とします。

よって、$a^2 = (\sqrt{5+\sqrt{7}} - \sqrt{5-\sqrt{7}})^2$ となるので、$a = \pm (\sqrt{5+\sqrt{7}} - \sqrt{5-\sqrt{7}})$ となります。

別の方法として、

$10-6\sqrt{2} = 10 - 2(3\sqrt{2}) = 9 + 1 - 2(3\sqrt{2}) = 3^2 - 2(3\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2 + 1 = (3-\sqrt{2})^2$ と変形できます。

したがって、$a^2 = (3 - \sqrt{2})^2$ より、$a = \pm(3 - \sqrt{2})$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3 - \sqrt{2}$ , $a = -3 + \sqrt{2}$

または

$a = \pm(3 - \sqrt{2})$