与えられた式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ と置きます。

すると、$x + y + z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a - b + b - c + c - a = 0$ となります。

ここで、$x + y + z = 0$ のとき、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ が成り立つことを利用します。

これは、公式 $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ から導けます。

$x + y + z = 0$ なので、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$ となり、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ が成り立ちます。

したがって、

$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

となります。

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$