与えられた行列を簡約化せよ。その際、基本変形の過程を説明すること。ただし、まず2行目を1/2倍すること。与えられた行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 & -2 \\ 2 & -2 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列を簡約化せよ。その際、基本変形の過程を説明すること。ただし、まず2行目を1/2倍すること。与えられた行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 & -2 \\ 2 & -2 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

手順1：2行目を1/2倍する。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 & -2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

手順2：1行目を2行目の2倍足す（1行目 + 2行目 × 2）。

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

手順3：3行目を2行目の-3倍足す（3行目 + 2行目 × (-3)）。

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -5 \end{pmatrix}$

手順4：3行目を1行目の3倍足す（3行目 + 1行目 × 3）。

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

手順5：1行目を3行目の-2倍足す（1行目 + 3行目 × (-2)）。

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

手順6：2行目を3行目の-2倍足す（2行目 + 3行目 × (-2)）。

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

手順7：2行目を1行目の-2倍足す（2行目 + 1行目 × (-2)）。

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

手順8：1行目と2行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

簡約化された行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$