数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。与えられた数列は $3, 12, 25, 42, 63, \dots$ であり、一般項は $a_n = \text{ヌ}n^2 + \text{ネ}n - \text{ノ}$ の形で表されます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。与えられた数列は $3, 12, 25, 42, 63, \dots$ であり、一般項は $a_n = \text{ヌ}n^2 + \text{ネ}n - \text{ノ}$ の形で表されます。

2. 解き方の手順

数列の階差を求めます。

$12-3 = 9$

$25-12 = 13$

$42-25 = 17$

$63-42 = 21$

階差数列は $9, 13, 17, 21, \dots$ となり、さらに階差を求めると、

$13-9 = 4$

$17-13 = 4$

$21-17 = 4$

となるので、これは等差数列であり、元の数列は2次式で表されると予想できます。

一般項を $a_n = An^2 + Bn + C$ とおき、最初の3項から係数を決定します。

$a_1 = A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = 3$

$a_2 = A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = 12$

$a_3 = A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = 25$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$3A + B = 9$

3番目の式から2番目の式を引くと、

$5A + B = 13$

上記の2つの式から、

$(5A + B) - (3A + B) = 13 - 9$

$2A = 4$

$A = 2$

$3A + B = 9$ より、

$3(2) + B = 9$

$6 + B = 9$

$B = 3$

$A + B + C = 3$ より、

$2 + 3 + C = 3$

$5 + C = 3$

$C = -2$

したがって、一般項は $a_n = 2n^2 + 3n - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n^2 + 3n - 2$