数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 5n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 5n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$n \ge 2$ のとき、一般項 $a_n$ は $S_n$ を用いて次のように表されます。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = n^2 + 5n$ を代入すると、

$a_n = (n^2 + 5n) - ((n-1)^2 + 5(n-1))$

$a_n = (n^2 + 5n) - (n^2 - 2n + 1 + 5n - 5)$

$a_n = n^2 + 5n - n^2 + 2n - 1 - 5n + 5$

$a_n = 2n + 4$

次に、 $n=1$ のときを考えます。

$S_1 = a_1$ なので、$S_1 = 1^2 + 5(1) = 1 + 5 = 6$ より、$a_1 = 6$ です。

上で求めた $a_n = 2n + 4$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 2(1) + 4 = 6$ となり、一致します。

したがって、$a_n = 2n + 4$ は全ての $n$ に対して成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n + 4$