与えられた式 $a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は $(a+b+c)^2$ を展開した形に似ています。$(a+b+c)^2$ を展開すると $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ となります。与えられた式には $c^2$ がありませんが、$c^2$ の代わりに $b^2$ があります。しかし,この式は綺麗に因数分解できます。

与えられた式を整理してみましょう。

$a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab = a^2 + 2ab + b^2 + 2bc + 2ca$

$=(a+b)^2 + 2c(a+b)$

ここで、$A = a+b$ と置くと、

$A^2 + 2cA = A(A+2c) = (a+b)(a+b+2c)$

したがって、

$a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab = (a+b)(a+b+2c)$

別の考え方として、

$a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab = a^2 + 2a(b+c) + (b^2 + 2bc + c^2) - c^2 + 2bc + 2ca + 2ab = a^2 + 2a(b+c) + (b+c)^2 -c^2$

$=(a+b+c)^2-c^2$

これは $(a+b+c+c)(a+b+c-c)=(a+b+2c)(a+b)$　に等しいです。

3. 最終的な答え

$(a+b)(a+b+2c)$