与えられた2x2行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ の2乗 $A^2$ と3乗 $A^3$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた2x2行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ の2乗 $A^2$ と3乗 $A^3$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の2乗 $A^2$ を計算します。これは $A$ と $A$ の行列積です。

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

$A^2$ の各要素は次のようになります：

(1,1)成分: $(1 \times 1) + (-2 \times -2) = 1 + 4 = 5$

(1,2)成分: $(1 \times -2) + (-2 \times -1) = -2 + 2 = 0$

(2,1)成分: $(-2 \times 1) + (-1 \times -2) = -2 + 2 = 0$

(2,2)成分: $(-2 \times -2) + (-1 \times -1) = 4 + 1 = 5$

したがって、$A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 5I$ (ただし、$I$は単位行列)

次に、行列 $A$ の3乗 $A^3$ を計算します。これは $A^2$ と $A$ の行列積です。

$A^3 = A^2 \times A = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

$A^3$ の各要素は次のようになります：

(1,1)成分: $(5 \times 1) + (0 \times -2) = 5 + 0 = 5$

(1,2)成分: $(5 \times -2) + (0 \times -1) = -10 + 0 = -10$

(2,1)成分: $(0 \times 1) + (5 \times -2) = 0 - 10 = -10$

(2,2)成分: $(0 \times -2) + (5 \times -1) = 0 - 5 = -5$

したがって、$A^3 = \begin{pmatrix} 5 & -10 \\ -10 & -5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 5 & -10 \\ -10 & -5 \end{pmatrix}$