問題は三角比と三角形に関する5つの小問から構成されています。 (1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のときの $\tan \theta$ を求める問題。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -4$ のときの $\cos \theta$ を求める問題。 (3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = \sqrt{2}$ のときの $AB$ を求める問題。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$ のときの $\angle C$ を求める問題。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 5$ のときの $\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める問題。

1. 問題の内容

問題は三角比と三角形に関する5つの小問から構成されています。

(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ のときの $\tan \theta$ を求める問題。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -4$ のときの $\cos \theta$ を求める問題。

(3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = \sqrt{2}$ のときの $AB$ を求める問題。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$ のときの $\angle C$ を求める問題。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 5$ のときの $\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta = -\frac{3}{5}$ より、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ を求める。$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\sin \theta > 0$ であることに注意する。その後、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を計算する。

$\sin^2 \theta + (-\frac{3}{5})^2 = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin \theta = \frac{4}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$

(2) $\tan \theta = -4$ より、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -4$。また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ である。$\sin \theta = -4 \cos \theta$ を $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入する。$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\sin \theta > 0$ である。

$(-4 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$16 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$17 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{17}} = \pm \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\tan \theta = -4 < 0$ なので、$\cos \theta < 0$ であるから、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

(3) 正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$ なので、$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$ から $AB$ を計算する。

$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

$AB = \frac{\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2/2}{1/2} = 2$

(4) 余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$。ここで、$CA = x$ とすると、$6 = 2 + x^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot x \cdot (-\frac{1}{2})$ から $x$ を求める。その後、正弦定理 $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$ を用いて $\sin C$ を求め、$\angle C$ を計算する。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

$6 = 2 + AC^2 - 2\sqrt{2} \cdot AC \cdot \cos 120^\circ$

$4 = AC^2 - 2\sqrt{2} \cdot AC \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 + \sqrt{2}AC - 4 = 0$

$AC = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4(-4)}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{2}$

$AC = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$　($AC > 0$ より)

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{1}{2}$

$\angle C = 30^\circ$

(5) 余弦定理より、$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$。$\triangle ABC$ の面積は、$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$ で求められる。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より $\sin A$ を計算する。

$\cos A = \frac{6^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{36 + 25 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

$\sin^2 A + (\frac{1}{5})^2 = 1$

$\sin^2 A = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin A = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ ($0^\circ < A < 180^\circ$ より $\sin A > 0$)

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan \theta = -\frac{4}{3}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

(3) $AB = 2$

(4) $\angle C = 30^\circ$

(5) $\cos A = \frac{1}{5}$, $\triangle ABC$ の面積は $6\sqrt{6}$