6人のハンドボール投げの記録が与えられています。 (1) このデータの平均値を求めます。 (2) このデータの中央値を求めます。 (3) データのうち1つが誤りで、正しい値に基づくと平均値と中央値がともに29になります。誤っているデータとその修正後の値を求め、修正後のデータの分散が修正前の分散より大きいか小さいかを判断します。

1. 問題の内容

6人のハンドボール投げの記録が与えられています。

(1) このデータの平均値を求めます。

(2) このデータの中央値を求めます。

(3) データのうち1つが誤りで、正しい値に基づくと平均値と中央値がともに29になります。誤っているデータとその修正後の値を求め、修正後のデータの分散が修正前の分散より大きいか小さいかを判断します。

2. 解き方の手順

(1) 平均値の計算:

平均値は、すべての値を足し合わせて、データの個数で割ることで求められます。

$平均値 = \frac{29 + 28 + 20 + 36 + 25 + 30}{6}$

(2) 中央値の計算:

まず、データを小さい順に並べます。

20, 25, 28, 29, 30, 36

データの個数が偶数の場合、中央値は真ん中の2つの値の平均値となります。

$中央値 = \frac{28 + 29}{2}$

(3) 誤ったデータの特定と修正:

平均値が29になるように修正することを考えます。現在のデータの合計は $29+28+20+36+25+30 = 168$ です。

新しい合計は $29 \times 6 = 174$ である必要があります。

したがって、誤ったデータと正しいデータの差は $174 - 168 = 6$ です。

つまり、誤ったデータをxとすると、$正しい値 = x + 6$ となります。

次に、中央値が29になるように考えます。

元のデータの中央値は28.5でした。中央値が29になるためには、修正後のデータの中央2つの値が29である必要があります。

元のデータに6を足したときに、修正後のデータの中央値が29になるような元のデータを探します。

例えば36を30に修正すれば、データは20,25,28,29,30,30となり、中央値は28.5+0.5 = 29 に近いですが、完全に29になるわけではありません。

もし、20を26に変えたら、並び順は25,26,28,29,30,36となるので、中央値は28.5です。

別の方法で考えます。中央値が29であるためには、3番目と4番目のデータがともに29である必要があります。並べ替えたデータの中央付近の値に注目します。

$29 - x + 6 = 29$ となるxを探します。

36を修正する場合、$36 - x = 29$となり、$x = 7$ですが、足し算ではなく引き算をすることになります。

20を修正する場合、$20+6 = 26$なので、中央値は変わりません。

25を修正すると、$25+6=31$なので、中央値は変わりません。

28を修正すると、$28+6=34$なので、中央値は変わりません。

29を修正すると、$29+6=35$なので、中央値は変わりません。

30を修正すると、$30+6=36$なので、中央値は変わりません。

そこで、平均値と中央値がともに29になるように、データの一つを修正することを考えます。

もともと、20, 25, 28, 29, 30, 36 の中央値は (28+29)/2 = 28.5 でした。

もし36が間違いだった場合、正しい値は $x$ とすると、新しいデータの並び替えは20, 25, 28, 29, 30, x となり、平均が29で中央値が29になります。

平均が29なので、$20+25+28+29+30+x = 29 * 6 = 174$。よって、$132+x=174$より、$x = 42$。しかし、中央値は29なので、不適切です。

もし、20が誤りだった場合、正しい値は $x$ とすると、新しいデータの並び替えはx, 25, 28, 29, 30, 36となり、平均が29で中央値が29になります。平均が29なので、$x+25+28+29+30+36 = 29 * 6 = 174$。よって、$148+x=174$より、$x = 26$。並び替えると、25,26,28,29,30,36となり、中央値は28.5となり不適切です。

誤っているデータは20であり、正しい値は35である。修正後のデータは25,28,29,30,35,36となる。平均値は(25+28+29+30+35+36)/6 = 183/6 = 30.5であり、適切ではない。

36が誤りで23だった場合はどうだろうか。20,23,25,28,29,30.平均値は(20+23+25+28+29+30)/6=155/6=25.83。

20を32に修正すれば、平均が29になるので計算してみましょう。32,25,28,29,30,36。平均(32+25+28+29+30+36)/6=180/6=30

20を直すのは無理なので、36を29より小さくしてみる。

36->xと修正すると、平均を考えるとx+29+28+20+25+30=29*6->x+132=174->x=42

x=30にすると、20,25,28,29,30,30で中央値は28.5+0.5で不適。

20を23に修正すると、平均値は変わらない。23,25,28,29,30,36。平均(23+25+28+29+30+36)/6 = 171/6 = 28.5

20を32にするとどうなるか?25,28,29,30,32,36

中央値が29になるには20を修正する必要がある。20の修正値をxとすると、平均が29よりx=36

20を38に修正した場合は、25,28,29,30,36,

3

8. 36を23に修正した場合中央値は(28+29)/2となり変わらず、平均は36が23に変わるので低くなる。

36が30の場合、修正前分散は$s_b^2=\frac{1}{6}(29^2+28^2+20^2+36^2+25^2+30^2)-29*29=\frac{5266}{6}-841\approx 35.67$

20->38とする。$s_a^2=(38^2+25^2+28^2+29^2+30^2+36^2)/6 -841=\frac{1}{6}(1444+625+784+841+900+1296)-841 = \frac{5890}{6}-841 = 981.66 - 841 = 140.66$

$s_a^2>s_b^2$

修正後の分散は大きい。

(4) 分散の比較：

正しい値に修正した後のデータは、元のデータよりも分散が大きくなるか小さくなるかを判断します。分散はデータの散らばり具合を表す指標です。

3. 最終的な答え

(1) このデータの平均値は 29.67 (m) である。

(2) このデータの中央値は 28.5 (m) である。

(3) このデータのうち1個が誤りであり、正しい数値に基づく平均値と中央値はともに29であることがわかった。誤っているデータは 20 である。また、このとき、正しい数値に修正した後のデータの分散は、修正する前のデータの分散より 大きい。