(1) 順列と組み合わせの計算問題です。具体的には、${}_5 P_2$, ${}_4 P_3$, ${}_5 C_2$, ${}_6 C_3$ を計算します。 (2) 大小2つのサイコロを同時に投げたとき、出た目の和が6の倍数になる確率と、出た目の積が奇数になる確率を求めます。 (3) 50以下の自然数全体の集合を $U$ とし、$U$ の部分集合で、2の倍数全体の集合を $A$、3の倍数全体の集合を $B$ とするとき、$n(B)$（集合Bの要素数）、$n(A \cap B)$（集合AとBの共通部分の要素数）、$n(A \cap \overline{B})$（集合AとBの補集合の共通部分の要素数）、$n(\overline{A \cup B})$（集合AとBの和集合の補集合の要素数）を求めます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(1) 順列と組み合わせの計算問題です。具体的には、${}_5 P_2$, ${}_4 P_3$, ${}_5 C_2$, ${}_6 C_3$ を計算します。

(2) 大小2つのサイコロを同時に投げたとき、出た目の和が6の倍数になる確率と、出た目の積が奇数になる確率を求めます。

(3) 50以下の自然数全体の集合を $U$ とし、$U$ の部分集合で、2の倍数全体の集合を $A$、3の倍数全体の集合を $B$ とするとき、$n(B)$（集合Bの要素数）、$n(A \cap B)$（集合AとBの共通部分の要素数）、$n(A \cap \overline{B})$（集合AとBの補集合の共通部分の要素数）、$n(\overline{A \cup B})$（集合AとBの和集合の補集合の要素数）を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 順列と組み合わせの公式を使って計算します。

* ${}_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

* ${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

${}_5 P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$

${}_4 P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) サイコロの目の出方の場合の数を数え、確率を計算します。

* 大小2つのサイコロの目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通り。

* 和が6の倍数になるのは、(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6) の6通り。確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。

* 積が奇数になるのは、大小ともに奇数が出るとき。奇数の目は1,3,5の3つなので、確率は $\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$。

(3) 集合の要素数を数えます。

* 50以下の自然数のうち、3の倍数は、3, 6, 9, ..., 48 の16個。したがって、$n(B) = 16$。

* $A \cap B$ は、2の倍数かつ3の倍数、つまり6の倍数全体の集合。50以下の6の倍数は、6, 12, 18, ..., 48 の8個。したがって、$n(A \cap B) = 8$。

* $A \cap \overline{B}$ は、2の倍数で3の倍数でない数全体の集合。50以下の2の倍数は25個。このうち3の倍数は8個なので、$n(A \cap \overline{B}) = 25 - 8 = 17$。

* $\overline{A \cup B}$ は、2の倍数でも3の倍数でもない数全体の集合。50以下の自然数は50個。$A \cup B$の要素数を求める。$n(A) = 25$, $n(B) = 16$, $n(A \cap B) = 8$ なので、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 25 + 16 - 8 = 33$。したがって、$n(\overline{A \cup B}) = 50 - 33 = 17$。

3. 最終的な答え

(1) ${}_5 P_2 = 20$, ${}_4 P_3 = 24$, ${}_5 C_2 = 10$, ${}_6 C_3 = 20$

(2) 和が6の倍数である確率は $\frac{1}{6}$、積が奇数である確率は $\frac{1}{4}$

(3) $n(B) = 16$, $n(A \cap B) = 8$, $n(A \cap \overline{B}) = 17$, $n(\overline{A \cup B}) = 17$