(1) 1から100までの整数のうち、3と互いに素なものの個数、10と互いに素なものの個数、30と互いに素なものの個数を求める。 (2) 和が2で積が$2-a$となる2つの異なる整数が存在するような自然数$a$を小さい順に$a_1, a_2, a_3, \dots$と並べたとき、$a_1, a_2, a_3$を求め、数列$\{a_n\}$の初項から第$k$項までの和が294であるとき、$k$を求める。 (3) $0 < \theta < 2\pi$を満たす$\theta$に対して、$x = 2\cos^2\theta - \sin^2\theta$, $y = \sin^2\theta$とおく。$\frac{dy}{dx} > 0$となるとき、$x$のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 1から100までの整数のうち、3と互いに素なものの個数、10と互いに素なものの個数、30と互いに素なものの個数を求める。

(2) 和が2で積が$2-a$となる2つの異なる整数が存在するような自然数$a$を小さい順に$a_1, a_2, a_3, \dots$と並べたとき、$a_1, a_2, a_3$を求め、数列$\{a_n\}$の初項から第$k$項までの和が294であるとき、$k$を求める。

(3) $0 < \theta < 2\pi$を満たす$\theta$に対して、$x = 2\cos^2\theta - \sin^2\theta$, $y = \sin^2\theta$とおく。$\frac{dy}{dx} > 0$となるとき、$x$のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

3と互いに素な整数の個数:

1から100までの整数のうち、3の倍数は$\lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$個ある。

したがって、3と互いに素な整数の個数は$100 - 33 = 67$個。

10と互いに素な整数の個数:

1から100までの整数のうち、10の倍数は$\lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$個ある。

2の倍数は50個、5の倍数は20個。10の倍数は10個。

2または5の倍数は$50+20-10 = 60$個。

10と互いに素なものは$100 - 60 = 40$個。

30と互いに素な整数の個数:

30と互いに素であるとは、2, 3, 5 のいずれの倍数でもないこと。

2の倍数は50個、3の倍数は33個、5の倍数は20個。

6の倍数は16個、10の倍数は10個、15の倍数は6個、30の倍数は3個。

2, 3, 5の少なくとも一つで割り切れるものは、$50 + 33 + 20 - (16 + 10 + 6) + 3 = 103 - 32 + 3 = 74$個。

30と互いに素なものは、$100 - 74 = 26$個。

(2)

和が2で積が$2-a$となる2つの異なる整数を$p, q$とする。

$p + q = 2$, $pq = 2-a$

$a = 2 - pq$

$a$は自然数なので、$2-pq > 0$つまり$pq < 2$。

$q = 2 - p$なので、$p(2-p) < 2$。

$2p - p^2 < 2$

$p^2 - 2p + 2 > 0$

$(p-1)^2 + 1 > 0$

これは常に成り立つ。

$p$と$q$は異なる整数なので、$p \neq q$。

$p \neq 2 - p$より、$2p \neq 2$、$p \neq 1$。

$pq = 2 - a$より、$a = 2 - pq$

$a = 2 - p(2-p) = 2 - 2p + p^2 = (p-1)^2 + 1$

$p$は整数なので、$a$は整数。

$a_1$は$p=0, 2$のとき$a_1 = (0-1)^2+1 = 2$,

$a_2$は$p=-1, 3$のとき$a_2 = (-1-1)^2+1 = 5$,

$a_3$は$p=-2, 4$のとき$a_3 = (-2-1)^2+1 = 10$.

したがって、$a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 10, \dots, a_n = (n-1)^2 + 1$.

$\sum_{i=1}^{k} ((i-1)^2 + 1) = \sum_{i=0}^{k-1} (i^2 + 1) = \sum_{i=0}^{k-1} i^2 + \sum_{i=0}^{k-1} 1 = \frac{(k-1)k(2k-1)}{6} + k = 294$

$\frac{(k-1)k(2k-1)}{6} + k - 294 = 0$

$2k^3 - 3k^2 + k + 6k - 1764 = 0$

$2k^3 - 3k^2 + 7k - 1764 = 0$

$k = 9$のとき、$2(729) - 3(81) + 7(9) - 1764 = 1458 - 243 + 63 - 1764 = 1521 - 2007 = -486 \neq 0$.

$k=10$のとき、$a_k = (10-1)^2 + 1 = 82$。

$\sum_{i=1}^{10} a_i = 2+5+10+17+26+37+50+65+82 = 294$

したがって、$k=10$。

(3)

$x = 2\cos^2\theta - \sin^2\theta$, $y = \sin^2\theta$

$x = 2(1-\sin^2\theta) - \sin^2\theta = 2 - 3\sin^2\theta = 2 - 3y$

$y = \sin^2\theta = \frac{2-x}{3}$

$dy = 2\sin\theta \cos\theta d\theta = \sin(2\theta) d\theta$

$dx = -6\sin\theta\cos\theta d\theta = -3\sin(2\theta) d\theta$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(2\theta) d\theta}{-3\sin(2\theta) d\theta} = -\frac{1}{3}$ ($\sin(2\theta) \neq 0$)

ただし、$0 < \theta < 2\pi$。

$\frac{dy}{dx} > 0$となるのは、問題の設定がおかしい。$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} < 0$。

問題文が正しい場合、$x=2\theta^2 - \sin^2 \theta$

$\frac{dx}{d\theta} = 4\theta - 2\sin\theta\cos\theta = 4\theta - \sin(2\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = 2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(2\theta)}{4\theta - \sin(2\theta)} > 0$

$\sin(2\theta)$と$4\theta - \sin(2\theta)$が同符号である必要がある。

$0 < \theta < 2\pi$なので、$0 < 2\theta < 4\pi$

$\sin(2\theta) > 0$のとき、$4\theta - \sin(2\theta) > 0$なので、$4\theta > \sin(2\theta)$

$0 < 2\theta < \pi$または$2\pi < 2\theta < 3\pi$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$または$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$

$\sin(2\theta) < 0$のとき、$4\theta - \sin(2\theta) < 0$なので、$4\theta < \sin(2\theta)$

$\pi < 2\theta < 2\pi$または$3\pi < 2\theta < 4\pi$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$または$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき、$x = 2\theta^2 - \sin^2 \theta$, $0 < x < 2(\frac{\pi}{2})^2 - 0 = \frac{\pi^2}{2}$. $\theta=0$のとき、$x=0$。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$のとき、$2(\frac{\pi}{2})^2 - 1 < x < 2\pi^2$. $\theta = \pi$のとき、$x = 2\pi^2$. $\theta=\frac{\pi}{2}$のとき、$x=2(\frac{\pi}{2})^2 - 1 = \frac{\pi^2}{2} - 1$.

$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$のとき、$2\pi^2 < x < \frac{9\pi^2}{2} - 1$.

$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$のとき、$x > \frac{9\pi^2}{2} - 1$, $x < 8\pi^2$.

$0 < x < \frac{\pi^2}{2}$, $\frac{\pi^2}{2} - 1 < x < 2\pi^2$, $2\pi^2 < x < \frac{9\pi^2}{2} - 1$.

3. 最終的な答え

(1) 67, 40, 26

(2) 2, 5, 10, 10

(3) $0 < x < \frac{\pi^2}{2}$, $\frac{\pi^2}{2}-1 < x < 2\pi^2$