与えられた図形の性質を利用して、指定された長さを計算する問題です。 (3) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。PA=12, PB=5, CD=4であるとき、PCの長さを求めます。 (4) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。PB=PC=5, CD=3であるとき、ABの長さを求めます。 (5) 半径が3の円に点Pから接線PAを引く。円の中心をOとするとき、線分POと円との交点をBとする。PA=4のとき、PBの長さを求めます。

1. 問題の内容

与えられた図形の性質を利用して、指定された長さを計算する問題です。

(3) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。PA=12, PB=5, CD=4であるとき、PCの長さを求めます。

(4) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。PB=PC=5, CD=3であるとき、ABの長さを求めます。

(5) 半径が3の円に点Pから接線PAを引く。円の中心をOとするとき、線分POと円との交点をBとする。PA=4のとき、PBの長さを求めます。

2. 解き方の手順

(3) 方べきの定理を使用します。方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立ちます。PD = PC + CD なので、$12 \cdot 5 = PC \cdot (PC + 4)$となります。これを解いてPCを求めます。

$60 = PC^2 + 4PC$

$PC^2 + 4PC - 60 = 0$

$(PC+10)(PC-6) = 0$

$PC = -10, 6$

PCは長さなので正である必要があるので、$PC = 6$

(4) 方べきの定理を使用します。方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立ちます。$PB = AB$なので、$PA = AB + PB = 2AB$となります。PD = PC + CD なので、$2AB \cdot AB = 5 \cdot (5 + 3)$となります。これを解いてABを求めます。

$2AB^2 = 5 \cdot 8 = 40$

$AB^2 = 20$

$AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(5) 円の半径をr=3とすると、OA=OB=3です。三角形OPAは直角三角形なので、三平方の定理より$OP^2 = OA^2 + PA^2$となります。

$OP^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$OP = 5$

$OP = OB + BP$なので、$5 = 3 + BP$

$BP = 5 - 3 = 2$

3. 最終的な答え

(3) PC = 6

(4) AB = $2\sqrt{5}$

(5) PB = 2