$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、$AB^2 + AC^2 = BG^2 + CG^2 + 4AG^2$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、$AB^2 + AC^2 = BG^2 + CG^2 + 4AG^2$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、点 $A$ を原点とし、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とすると、重心 $G$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{AG} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$ と表せる。

$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{b} = \frac{\vec{c} - 2\vec{b}}{3}$

$\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AC} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{c} = \frac{\vec{b} - 2\vec{c}}{3}$

したがって、

$AB^2 = |\vec{b}|^2$

$AC^2 = |\vec{c}|^2$

$AG^2 = \left| \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} \right|^2 = \frac{|\vec{b}|^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{c}|^2}{9}$

$BG^2 = \left| \frac{\vec{c} - 2\vec{b}}{3} \right|^2 = \frac{|\vec{c}|^2 - 4\vec{b} \cdot \vec{c} + 4|\vec{b}|^2}{9}$

$CG^2 = \left| \frac{\vec{b} - 2\vec{c}}{3} \right|^2 = \frac{|\vec{b}|^2 - 4\vec{b} \cdot \vec{c} + 4|\vec{c}|^2}{9}$

ここで、$BG^2 + CG^2 + 4AG^2$ を計算すると、

$BG^2 + CG^2 + 4AG^2 = \frac{|\vec{c}|^2 - 4\vec{b} \cdot \vec{c} + 4|\vec{b}|^2}{9} + \frac{|\vec{b}|^2 - 4\vec{b} \cdot \vec{c} + 4|\vec{c}|^2}{9} + \frac{4|\vec{b}|^2 + 8\vec{b} \cdot \vec{c} + 4|\vec{c}|^2}{9}$

$= \frac{9|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2}{9} = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 = AB^2 + AC^2$

よって、$AB^2 + AC^2 = BG^2 + CG^2 + 4AG^2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$AB^2 + AC^2 = BG^2 + CG^2 + 4AG^2$ が成り立つ。