$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}$ であり、$s+t = 2$, $s \geq 0$, $t \geq 0$ を満たす点 $P$ の存在範囲を求める。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}$ であり、$s+t = 2$, $s \geq 0$, $t \geq 0$ を満たす点 $P$ の存在範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$s + t = 2$ より、$t = 2 - s$ となる。これを $\overrightarrow{OP}$ の式に代入すると、

$\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + (2 - s) \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} - s \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = s (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + 2 \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = -s (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + 2 \overrightarrow{OB}$

ここで、$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$ なので、

$\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + (2-s) \overrightarrow{OB}$

$= 2(\frac{s}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{2-s}{2} \overrightarrow{OB})$

$= 2(\frac{s}{2} \overrightarrow{OA} + (1-\frac{s}{2}) \overrightarrow{OB})$

$\frac{s}{2} = s'$, $s' + t' = 1$とすると、

$\overrightarrow{OP} = 2(s'\overrightarrow{OA} + t' \overrightarrow{OB})$. ここで、$s' + t' = 1$ であるから、$s' \overrightarrow{OA} + t' \overrightarrow{OB}$は線分AB上の点である。その点をQとすると、$\overrightarrow{OQ}=s'\overrightarrow{OA} + t' \overrightarrow{OB}$。したがって、$\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OQ}$であり、$s\ge 0, t \ge 0$より、$s \ge 0, 2-s\ge 0$. よって$0 \le s \le 2$. $s = 0$のとき $\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OB}$, $s = 2$のとき $\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OA}$.

$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}$となる点C,Dをとる。

$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+(2-s)\overrightarrow{OB}=\frac{s}{2}(2\overrightarrow{OA})+\frac{2-s}{2}(2\overrightarrow{OB})$

=$\frac{s}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{2-s}{2}\overrightarrow{OD}$

$\frac{s}{2}+\frac{2-s}{2}=1$ であり、$s\ge 0$より$\frac{s}{2}\ge0$, $2-s\ge0$より$\frac{2-s}{2}\ge0$

よって、Pは線分CD上にある。

3. 最終的な答え

点Pの存在範囲は、線分CDである。ただし、点Cは線分OAを2倍に伸ばした点であり、点Dは線分OBを2倍に伸ばした点である。