円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 3$, $BC = 5$, $CD = 5$, $\angle B = 120^\circ$である。 (1) $AC$ の長さを求めよ。 (2) $AD$ の長さを求めよ。 (3) 四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 3$, $BC = 5$, $CD = 5$, $\angle B = 120^\circ$である。

(1) $AC$ の長さを求めよ。

(2) $AD$ の長さを求めよ。

(3) 四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AC$ の長さを求める。

三角形 $ABC$ において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle B}$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos{120^\circ}$

$AC^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 34 + 15 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(2) $AD$ の長さを求める。

四角形 $ABCD$ は円に内接するので、$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

三角形 $ACD$ において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle D}$

$7^2 = AD^2 + 5^2 - 2 \cdot AD \cdot 5 \cdot \cos{60^\circ}$

$49 = AD^2 + 25 - 10 \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$

$49 = AD^2 + 25 - 5AD$

$AD^2 - 5AD - 24 = 0$

$(AD - 8)(AD + 3) = 0$

$AD = 8$ または $AD = -3$

$AD > 0$ より $AD = 8$

(3) 四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求める。

$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle B} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{\angle D} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin{60^\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4} + 10\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3} + 40\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = 7$

(2) $AD = 8$

(3) $S = \frac{55\sqrt{3}}{4}$