問題は全部で5問あります。 1問目は、集合に関する問題で、$n(U)=50$, $n(A)=26$, $n(B)=17$, $n(A \cap B)=8$ のとき、$n(\overline{A})$, $n(A \cup B)$, $n(\overline{A \cap B})$ を求めます。 2問目は、100以下の自然数について、3の倍数、3の倍数でない数、3の倍数かつ4の倍数、3の倍数または4の倍数の個数を求めます。 3問目は、大中小3個のサイコロを投げるとき、目の和が4または6になる場合、目の積が奇数になる場合がそれぞれ何通りあるか求めます。 4問目は、72の正の約数の個数と総和を求めます。 5問目は、順列と組合せに関する計算問題で、$_{7}P_{4}$, $6!$, $_{10}C_{3}$, $_{20}C_{18}$ を計算します。

1. 問題の内容

問題は全部で5問あります。

1問目は、集合に関する問題で、$n(U)=50$, $n(A)=26$, $n(B)=17$, $n(A \cap B)=8$ のとき、$n(\overline{A})$, $n(A \cup B)$, $n(\overline{A \cap B})$ を求めます。

2問目は、100以下の自然数について、3の倍数、3の倍数でない数、3の倍数かつ4の倍数、3の倍数または4の倍数の個数を求めます。

3問目は、大中小3個のサイコロを投げるとき、目の和が4または6になる場合、目の積が奇数になる場合がそれぞれ何通りあるか求めます。

4問目は、72の正の約数の個数と総和を求めます。

5問目は、順列と組合せに関する計算問題で、$_{7}P_{4}$, $6!$, $_{10}C_{3}$, $_{20}C_{18}$ を計算します。

2. 解き方の手順

1. 集合の問題

(1) $n(\overline{A})$ は、全体集合 $U$ の要素数から $A$ の要素数を引くことで求められます。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 50 - 26 = 24$

(2) $n(A \cup B)$ は、和集合の要素数に関する公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を用いて求められます。

$n(A \cup B) = 26 + 17 - 8 = 35$

(3) $n(\overline{A \cap B})$ は、$n(U) - n(A \cap B)$ で求められます。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B) = 50 - 8 = 42$

2. 倍数の問題

(1) 100以下の3の倍数の個数は、$100 \div 3 = 33.33...$ より、33個です。

(2) 100以下の自然数のうち、3の倍数でない数は、全体の個数から3の倍数の個数を引けばよいです。

$100 - 33 = 67$

(3) 3の倍数かつ4の倍数とは、12の倍数のことなので、$100 \div 12 = 8.33...$ より、8個です。

(4) 3の倍数または4の倍数の個数は、$n(3の倍数 \cup 4の倍数) = n(3の倍数) + n(4の倍数) - n(12の倍数)$ で求められます。100以下の4の倍数は、$100 \div 4 = 25$ より、25個です。したがって、$33 + 25 - 8 = 50$ 個です。

3. サイコロの問題

(1) 目の和が4になるのは、(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1) の3通りです。

目の和が6になるのは、(1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 2, 2) の10通りです。

したがって、目の和が4または6になるのは、$3 + 10 = 13$ 通りです。

(2) 目の積が奇数になるのは、すべてのサイコロの目が奇数の場合です。各サイコロは1, 3, 5のいずれかの目を出すので、目の積が奇数になるのは $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りです。

4. 約数の問題

72を素因数分解すると $72 = 2^3 \times 3^2$ となります。

約数の個数は、$(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$ 個です。

約数の総和は、$(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2) = (1+2+4+8)(1+3+9) = 15 \times 13 = 195$ です。

5. 順列と組合せの問題

(1) $_{7}P_{4} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

(2) $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(3) $_{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(4) $_{20}C_{18} = _{20}C_{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190$

3. 最終的な答え

1. (1) 24 (2) 35 (3) 42

2. (1) 33個 (2) 67個 (3) 8個 (4) 50個

3. (1) 13通り (2) 27通り

4. 個数: 12個, 総和: 195

5. (1) 840 (2) 720 (3) 120 (4) 190