不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の左辺から右辺を引いた式を考えます。

$a^2 + 9b^2 - 4ab$

この式を平方完成することを試みます。

$a^2 - 4ab + 9b^2 = (a^2 - 4ab + 4b^2) + 5b^2 = (a - 2b)^2 + 5b^2$

$(a - 2b)^2 \geq 0$ であり、$5b^2 \geq 0$ であるので、

$(a - 2b)^2 + 5b^2 \geq 0$

したがって、$a^2 + 9b^2 - 4ab \geq 0$

よって、$a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$(a - 2b)^2 = 0$ かつ $5b^2 = 0$ のときです。

つまり、$a - 2b = 0$ かつ $b = 0$ のときです。

これより、$a = 2b$ かつ $b = 0$ なので、$a = 0$ かつ $b = 0$ が等号が成り立つ条件です。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 4ab$ は証明されました。

等号が成り立つのは $a = 0$ かつ $b = 0$ のときです。