SHIKENの6文字をすべて使ってできる順列を、EHIKNSを1番目として辞書式に並べたとき、140番目の文字列を求める問題です。

1. 問題の内容

SHIKENの6文字をすべて使ってできる順列を、EHIKNSを1番目として辞書式に並べたとき、140番目の文字列を求める問題です。

2. 解き方の手順

SHIKENの6文字をアルファベット順に並べるとEHIKNSとなります。

6つの文字を並べる順列は全部で $6! = 720$ 通りあります。

1. 1文字目がEである場合：残りの5文字（HIKNS）の並べ方は $5! = 120$ 通り。

2. 1文字目がHである場合：残りの5文字（EIKSN）の並べ方は $5! = 120$ 通り。

1文字目がEの場合の120個と、1文字目がHの場合の120個で、合計240個となり、140番目を超えるので、1文字目はEであると仮定します。

1. 1文字目がE、2文字目がHである場合：残りの4文字（IKNS）の並べ方は $4! = 24$ 通り。EHで始まる順列は1番目から24番目までです。

2. 1文字目がE、2文字目がIである場合：残りの4文字（HKNS）の並べ方は $4! = 24$ 通り。EIで始まる順列は25番目から48番目までです。

3. 1文字目がE、2文字目がKである場合：残りの4文字（HINS）の並べ方は $4! = 24$ 通り。EKで始まる順列は49番目から72番目までです。

4. 1文字目がE、2文字目がNである場合：残りの4文字（HIKS）の並べ方は $4! = 24$ 通り。ENで始まる順列は73番目から96番目までです。

5. 1文字目がE、2文字目がSである場合：残りの4文字（HIKN）の並べ方は $4! = 24$ 通り。ESで始まる順列は97番目から120番目までです。

ここまでの合計は$5 \times 24 = 120$番目です。まだ140番目には届きません。

次に1文字目がHの場合を考えます。

1. 1文字目がH、2文字目がEである場合：残りの4文字（IKNS）の並べ方は $4! = 24$ 通り。HEで始まる順列は121番目から144番目までです。

HEで始まる順列の中に140番目のものが含まれることがわかりました。

140番目は、HEから始まる順列の中で、140 - 120 = 20番目です。

残りの文字IKNSについて考えます。

1. HEI*** の形：残りの3文字（KNS）の並べ方は $3! = 6$ 通り。

2. HEK*** の形：残りの3文字（INS）の並べ方は $3! = 6$ 通り。

3. HEN*** の形：残りの3文字（IKS）の並べ方は $3! = 6$ 通り。

HEIで始まる順列は121番目から126番目

HEKで始まる順列は127番目から132番目

HENで始まる順列は133番目から138番目

ここまでの合計は $3 \times 6 = 18$個です。残りは2個です。

残りの文字はIKSなので、次はHES*** を考えます。

HES*** の形：残りの3文字(IKN)の並べ方は $3! = 6$ 通り。

HESで始まる順列は139番目から144番目です。

139番目：HESIKN

140番目：HESINK

3. 最終的な答え

HESINK