集合Mの部分集合A, B, Cについて、以下の命題を示す問題です。 (1) $A \subset B \Rightarrow A \cap C \subset B \cap C$ (2) $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B$ (3) $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B^c = \emptyset$ (4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$ (5) $B \subset A \Rightarrow B \setminus C \subset A \setminus C$ (6) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A \setminus B = A$

1. 問題の内容

集合Mの部分集合A, B, Cについて、以下の命題を示す問題です。

(1) $A \subset B \Rightarrow A \cap C \subset B \cap C$

(2) $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B$

(3) $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B^c = \emptyset$

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$

(5) $B \subset A \Rightarrow B \setminus C \subset A \setminus C$

(6) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A \setminus B = A$

2. 解き方の手順

(1) $A \subset B \Rightarrow A \cap C \subset B \cap C$

$x \in A \cap C$と仮定すると、$x \in A$かつ$x \in C$。$A \subset B$なので、$x \in B$。したがって、$x \in B$かつ$x \in C$。つまり、$x \in B \cap C$。よって、$A \cap C \subset B \cap C$。

(2) $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B$

$x \in A$と仮定すると、$A = A \cap B$なので、$x \in A \cap B$。したがって、$x \in A$かつ$x \in B$。特に、$x \in B$。よって、$A \subset B$。

(3) $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B^c = \emptyset$

($\Rightarrow$) $A \subset B$と仮定する。もし、$A \cap B^c \neq \emptyset$なら、$x \in A \cap B^c$となる$x$が存在する。これは、$x \in A$かつ$x \in B^c$を意味する。したがって、$x \in A$かつ$x \notin B$となるが、これは$A \subset B$に矛盾する。したがって、$A \cap B^c = \emptyset$。

($\Leftarrow$) $A \cap B^c = \emptyset$と仮定する。もし、$A \not\subset B$なら、$x \in A$かつ$x \notin B$となる$x$が存在する。これは、$x \in A$かつ$x \in B^c$を意味する。したがって、$x \in A \cap B^c$となるが、これは$A \cap B^c = \emptyset$に矛盾する。したがって、$A \subset B$。

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$

$(x, y) \in (A \cup B) \times C$と仮定すると、$x \in A \cup B$かつ$y \in C$。

$x \in A$の場合、$x \in A$かつ$y \in C$なので、$(x, y) \in A \times C$。

$x \in B$の場合、$x \in B$かつ$y \in C$なので、$(x, y) \in B \times C$。

いずれにしても$(x, y) \in (A \times C) \cup (B \times C)$。

$(x, y) \in (A \times C) \cup (B \times C)$と仮定すると、$(x, y) \in A \times C$または$(x, y) \in B \times C$。

$(x, y) \in A \times C$の場合、$x \in A$かつ$y \in C$なので、$x \in A \cup B$かつ$y \in C$。

$(x, y) \in B \times C$の場合、$x \in B$かつ$y \in C$なので、$x \in A \cup B$かつ$y \in C$。

いずれにしても$(x, y) \in (A \cup B) \times C$。

したがって、$(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$。

(5) $B \subset A \Rightarrow B \setminus C \subset A \setminus C$

$x \in B \setminus C$と仮定すると、$x \in B$かつ$x \notin C$。$B \subset A$なので、$x \in A$。したがって、$x \in A$かつ$x \notin C$。つまり、$x \in A \setminus C$。よって、$B \setminus C \subset A \setminus C$。

(6) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A \setminus B = A$

($\Rightarrow$) $A \cap B = \emptyset$と仮定する。$A \setminus B = \{x | x \in A \text{かつ} x \notin B\}$。$x \in A$とする。$A \cap B = \emptyset$なので、$x \notin B$。したがって、$x \in A$かつ$x \notin B$。つまり、$x \in A \setminus B$。よって、$A \subset A \setminus B$。また、$A \setminus B \subset A$は明らか。したがって、$A \setminus B = A$。

($\Leftarrow$) $A \setminus B = A$と仮定する。$A \cap B = \emptyset$を示す。$A \cap B \neq \emptyset$と仮定すると、$x \in A \cap B$となる$x$が存在する。したがって、$x \in A$かつ$x \in B$。$A \setminus B = \{x | x \in A \text{かつ} x \notin B\}$。$A \setminus B = A$なので、$x \in A \setminus B$。したがって、$x \in A$かつ$x \notin B$となるが、$x \in B$と矛盾する。したがって、$A \cap B = \emptyset$。

3. 最終的な答え

(1) $A \subset B \Rightarrow A \cap C \subset B \cap C$ が成り立つ。

(2) $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B$ が成り立つ。

(3) $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B^c = \emptyset$ が成り立つ。

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$ が成り立つ。

(5) $B \subset A \Rightarrow B \setminus C \subset A \setminus C$ が成り立つ。

(6) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A \setminus B = A$ が成り立つ。