集合 $A$ は100以下の自然数全体の集合、集合 $B$ は1以上100以下の5の倍数全体の集合であるとき、$n(A \cup B)$ を求めなさい。ここで、$n(X)$ は集合 $X$ の要素の個数を表す。

1. 問題の内容

集合 $A$ は100以下の自然数全体の集合、集合 $B$ は1以上100以下の5の倍数全体の集合であるとき、$n(A \cup B)$ を求めなさい。ここで、$n(X)$ は集合 $X$ の要素の個数を表す。

2. 解き方の手順

$n(A \cup B)$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の和集合の要素の個数です。

和集合の要素の個数を求める公式は以下の通りです。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

まず、$n(A)$ を求めます。集合 $A$ は100以下の自然数なので、$A = \{1, 2, 3, ..., 100\}$ となります。よって、$n(A) = 100$ です。

次に、$n(B)$ を求めます。集合 $B$ は1以上100以下の5の倍数なので、$B = \{5, 10, 15, ..., 100\}$ となります。

$B$ の要素は $5k$ （$k$ は自然数）と表せるので、$5k \leq 100$ より $k \leq 20$ となります。したがって、$n(B) = 20$ です。

次に、$n(A \cap B)$ を求めます。$A \cap B$ は集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分なので、100以下の自然数であり、かつ5の倍数である数の集合です。これは集合 $B$ そのものなので、$A \cap B = B$ です。したがって、$n(A \cap B) = n(B) = 20$ です。

最後に、$n(A \cup B)$ を計算します。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 100 + 20 - 20 = 100$

3. 最終的な答え

100