関数 $y = 4\cos(\theta - \frac{\pi}{3})$ について、 $0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲における $y$ の取り得る値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 4\cos(\theta - \frac{\pi}{3})$ について、 $0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲における $y$ の取り得る値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\theta$ の範囲から $\theta - \frac{\pi}{3}$ の範囲を求めます。

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、

$-\frac{\pi}{3} \leq \theta - \frac{\pi}{3} \leq \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

したがって、$-\frac{\pi}{3} \leq \theta - \frac{\pi}{3} \leq \frac{2\pi}{3}$ となります。

次に、$t = \theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、 $-\frac{\pi}{3} \leq t \leq \frac{2\pi}{3}$ です。この範囲における $\cos t$ の値の範囲を考えます。

$\cos t$ は $t=0$ で最大値 $1$ を取り、$t = \pi$ で最小値 $-1$ を取ります。

$-\frac{\pi}{3} \leq t \leq \frac{2\pi}{3}$ の範囲では、

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\cos t$ は $t = 0$ で最大値 $\cos(0) = 1$ を取り、$t = \frac{2\pi}{3}$ の範囲で最小値 $-\frac{1}{2}$ をとります。

したがって、 $-\frac{1}{2} \leq \cos t \leq 1$ です。

最後に、$y = 4\cos t$ の範囲を求めます。

$-\frac{1}{2} \leq \cos t \leq 1$ なので、

$4 \times (-\frac{1}{2}) \leq 4\cos t \leq 4 \times 1$

$-2 \leq y \leq 4$

3. 最終的な答え

$-2 \leq y \leq 4$