2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + a$ が与えられている。 (1) $y = f(x)$ のグラフ上の点 $(1, f(1))$ における接線 $l$ の傾きを求める。 (2) 接線 $l$ が点 $(0, -8)$ を通るとき、$a$ の値を求める。 (3) このとき、接線 $l$、放物線 $y = f(x)$、y軸で囲まれた部分の面積を求める。 (4) 接線 $l$、放物線 $y = f(x)$、x軸で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + a$ が与えられている。

(1) $y = f(x)$ のグラフ上の点 $(1, f(1))$ における接線 $l$ の傾きを求める。

(2) 接線 $l$ が点 $(0, -8)$ を通るとき、$a$ の値を求める。

(3) このとき、接線 $l$、放物線 $y = f(x)$、y軸で囲まれた部分の面積を求める。

(4) 接線 $l$、放物線 $y = f(x)$、x軸で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^2 + 6x + a$ より、$f'(x) = -2x + 6$。

点 $(1, f(1))$ における接線 $l$ の傾きは、$f'(1) = -2(1) + 6 = 4$。

(2) $f(1) = -1^2 + 6(1) + a = -1 + 6 + a = 5 + a$。

接線 $l$ の方程式は、$y - (5 + a) = 4(x - 1)$ より、$y = 4x + 1 + a$。

接線 $l$ が点 $(0, -8)$ を通るので、$-8 = 4(0) + 1 + a$ より、$a = -9$。

(3) $a = -9$ のとき、$f(x) = -x^2 + 6x - 9 = -(x - 3)^2$。

接線 $l$ の方程式は、$y = 4x + 1 - 9 = 4x - 8$。

放物線 $y = f(x)$ と接線 $y = l(x)$ の交点は、点 $(1, -4)$。

放物線 $y = f(x)$ と y 軸の交点は $(0, -9)$。

接線 $y = l(x)$ と y 軸の交点は $(0, -8)$。

接線 $l$、放物線 $y = f(x)$、y軸で囲まれた部分の面積は、

$\int_0^1 \{(-x^2 + 6x - 9) - (4x - 8)\} dx = \int_0^1 (-x^2 + 2x - 1) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2 - x\right]_0^1 = -\frac{1}{3} + 1 - 1 = -\frac{1}{3}$

面積なので絶対値を取って、$\frac{1}{3}$。

(4) 放物線 $f(x) = -(x-3)^2$ と x 軸の交点は $(3, 0)$。

接線 $l(x) = 4x - 8$ と x 軸の交点は $(2, 0)$。

$\int_2^3 (4x - 8) dx = [2x^2 - 8x]_2^3 = (18 - 24) - (8 - 16) = -6 - (-8) = 2$

$\int_1^3 -(x-3)^2 dx = \int_1^3 (-x^2 + 6x - 9) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 9x \right]_1^3 = (-9 + 27 - 27) - (-\frac{1}{3} + 3 - 9) = -9 - (-\frac{1}{3} - 6) = -3 + \frac{1}{3} = -\frac{8}{3}$

面積なので絶対値を取って、$\frac{8}{3}$。

$\frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$。

3. 最終的な答え

ア: 4

イウ: -9

エ/オ: 1/3

カ/キ: 2/3