関数 $y = -2\cos2\theta + 4\sin\theta + 4$ ($0 \le \theta < 2\pi$)がある。この関数を変形し、最大値、最小値を求める。また、方程式 $-2\cos2\theta + 4\sin\theta + 4 = k$ (kは定数)の実数解 $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の個数を、kの値によって場合分けして求める。さらに、ある条件における解の和を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -2\cos2\theta + 4\sin\theta + 4$ ($0 \le \theta < 2\pi$)がある。この関数を変形し、最大値、最小値を求める。また、方程式 $-2\cos2\theta + 4\sin\theta + 4 = k$ (kは定数)の実数解 $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の個数を、kの値によって場合分けして求める。さらに、ある条件における解の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を用いて、$y$を$\sin\theta$ の式で表す。

$y = -2(1 - 2\sin^2\theta) + 4\sin\theta + 4 = 4\sin^2\theta + 4\sin\theta + 2$

次に、$\sin\theta = t$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、$y = 4t^2 + 4t + 2 = 4(t^2 + t) + 2 = 4(t + \frac{1}{2})^2 - 1 + 2 = 4(t + \frac{1}{2})^2 + 1$となる。

$-1 \le t \le 1$において、$y$は$t = 1$のとき最大値をとり、$t = -\frac{1}{2}$のとき最小値をとる。

$t = 1$ のとき、$y = 4(1 + \frac{1}{2})^2 + 1 = 4(\frac{3}{2})^2 + 1 = 4 \times \frac{9}{4} + 1 = 9 + 1 = 10$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = 4(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2})^2 + 1 = 1$

したがって、最大値は10、最小値は1となる。

次に、方程式 $-2\cos2\theta + 4\sin\theta + 4 = k$ について、$-2(1 - 2\sin^2\theta) + 4\sin\theta + 4 = k$ より、$4\sin^2\theta + 4\sin\theta + 2 = k$

$4t^2 + 4t + 2 = k$ ($t = \sin\theta$)

$4(t + \frac{1}{2})^2 + 1 = k$

$4(t + \frac{1}{2})^2 = k - 1$

$(t + \frac{1}{2})^2 = \frac{k - 1}{4}$

$t + \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{k - 1}}{2}$

$t = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{k - 1}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{k - 1}}{2}$

ここで、$t = \sin\theta$ であり、$-1 \le t \le 1$であることに注意する。

(i) $k = 10$ のとき、$t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$より、$t = 1, -2$。$t = 1$のみが条件を満たす。$\sin\theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$。 よって解の個数は1個。

(ii) $1 < k < 10$ のとき、$-1 < \frac{-1 \pm \sqrt{k - 1}}{2} < 1$ を満たす解が2つ存在する。よって解の個数は2個。

(iii) $k = 1$ のとき、$t = \frac{-1 \pm \sqrt{0}}{2} = -\frac{1}{2}$。$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$。 よって解の個数は2個。

(iv) $1 < k < 10$のとき、$1 < k < 5$の場合と、$5 \le k < 10$の場合を考える。

$\sin\theta = \frac{-1 \pm \sqrt{k - 1}}{2}$となる$\theta$は、$\sin\theta$の値に対して通常2つ存在する。しかし$\sin\theta=1$または$\sin\theta=-1$のときは1つである。$k$の値によって解の個数が変化する。$1 < k < 5$のとき、解は2つ存在する。

(v) $k=1$のとき、解は2つ存在した。

(ii) $1 < k < 10$ のとき、$\sin\theta = t$は２つの解$\theta_1$, $\theta_2$を持つ。$\theta_1 + \theta_2 = \pi$

(iv) $1 < k < 5$のとき、すべての解の和は、$\theta_1 + \theta_2$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 4

ウ: 2

エオ: 10

カ: 1

キ: 1

ク: 1

ケ: 4

コ: 2

サ: 4

シ: 2

ス: (2) $\pi$

セ: (5) $3\pi$