与えられた行列 $A$ の階数（ランク）を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ -3 & 6 & 6 & 1 \\ 1 & -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数（ランク）を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ -3 & 6 & 6 & 1 \\ 1 & -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行基本変形（掃き出し法）によって階段行列に変形したときの、0でない行の数に等しくなります。

与えられた行列 $A$ を行基本変形によって階段行列に変形します。

まず、2行目に1行目の3倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ -3+3(1) & 6+3(-2) & 6+3(-1) & 1+3(1) \\ 1 & -2 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$

次に、3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1-1 & -2-(-2) & 4-(-1) & 1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix}$

次に、3行目に2行目の-5/3倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 5 - \frac{5}{3} \times 3 & 0 - \frac{5}{3} \times 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{20}{3} \end{bmatrix}$

この時点で、0でない行が3行あることがわかります。従って、行列の階数は3です。

3. 最終的な答え

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