座標平面上に円 $K_a: x^2+y^2-2ax-4ay+10a-10=0$ がある。ただし、$a$ は定数とする。 (1) $a=2$ のときの円 $K_2$ の中心の座標と半径を求める。 (2) 円 $K_a$ の半径の最小値とそのときの $a$ の値を求める。 (3) 円 $K_a$ は $a$ の値にかかわらず、ある円と直線の交点A, Bを通る。その円と直線の方程式を求め、点A, Bのうち第1象限にある点の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $K_a: x^2+y^2-2ax-4ay+10a-10=0$ がある。ただし、$a$ は定数とする。

(1) $a=2$ のときの円 $K_2$ の中心の座標と半径を求める。

(2) 円 $K_a$ の半径の最小値とそのときの $a$ の値を求める。

(3) 円 $K_a$ は $a$ の値にかかわらず、ある円と直線の交点A, Bを通る。その円と直線の方程式を求め、点A, Bのうち第1象限にある点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=2$ を円の方程式に代入する。

$x^2+y^2-4x-8y+20-10=0$

$x^2-4x+y^2-8y+10=0$

平方完成する。

$(x-2)^2-4+(y-4)^2-16+10=0$

$(x-2)^2+(y-4)^2=10$

よって中心は$(2,4)$、半径は$\sqrt{10}$。

(2) 円の方程式を平方完成する。

$(x-a)^2-a^2+(y-2a)^2-4a^2+10a-10=0$

$(x-a)^2+(y-2a)^2=5a^2-10a+10$

半径を $r$ とすると、

$r^2=5a^2-10a+10=5(a^2-2a+1)+5=5(a-1)^2+5$

$r=\sqrt{5(a-1)^2+5}$

$r$ が最小となるのは $a=1$ のときで、最小値は $\sqrt{5}$。

(3) 円 $K_a$ の方程式を $a$ について整理する。

$x^2+y^2-2ax-4ay+10a-10=0$

$x^2+y^2-10+a(-2x-4y+10)=0$

これは、$a$ の値にかかわらず、

$x^2+y^2-10=0$ かつ $-2x-4y+10=0$

すなわち、

$x^2+y^2=10$ と $x+2y=5$ の交点を通ることを示す。

$x=5-2y$ を $x^2+y^2=10$ に代入する。

$(5-2y)^2+y^2=10$

$25-20y+4y^2+y^2=10$

$5y^2-20y+15=0$

$y^2-4y+3=0$

$(y-1)(y-3)=0$

$y=1,3$

$y=1$ のとき $x=5-2(1)=3$

$y=3$ のとき $x=5-2(3)=-1$

交点は $(3,1)$ と $(-1,3)$。

第1象限にあるのは $(3,1)$。

3. 最終的な答え

(1) 中心の座標は $(2,4)$、半径は $\sqrt{10}$。

(2) 半径の最小値は $\sqrt{5}$ であり、このとき $a=1$。

(3) 円 $x^2+y^2=10$ と直線 $x+2y=5$ の交点A, Bを通る。点A, Bのうち第1象限にある点の座標は $(3,1)$。