数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、以下の問いに答える。 (1) 全ての自然数 $n$ に対して、$a_n > n$ であることを証明せよ。 (2) 命題「$a_n$ が偶数ならば、$a_n$ の素因数は2だけである」の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。 (3) 命題「全ての自然数 $n$ に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ は整数ではない」の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、以下の問いに答える。

(1) 全ての自然数 $n$ に対して、$a_n > n$ であることを証明せよ。

(2) 命題「$a_n$ が偶数ならば、$a_n$ の素因数は2だけである」の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。

(3) 命題「全ての自然数 $n$ に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ は整数ではない」の真偽を調べ、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = 2 > 1$ であるので、$n=1$ のとき成り立つ。

$n=2$ のとき、$a_2 = 3 > 2$ であるので、$n=2$ のとき成り立つ。

(ii) $n=k$, $n=k+1$ で成り立つと仮定する。すなわち、$a_k > k$ かつ $a_{k+1} > k+1$ であると仮定する。

$n=k+2$ のとき、$a_{k+2} = a_{k+1} + a_k > (k+1) + k = 2k+1$

ここで、$2k+1 > k+2$ を示す。$2k+1 > k+2 \Leftrightarrow k > 1$

$k \ge 2$ のとき、$k > 1$ が成立するので、$a_{k+2} > k+2$ が成り立つ。

よって、$n=k+2$ のときも成り立つ。

(i), (ii) より、全ての自然数 $n$ に対して、$a_n > n$ が成り立つ。

(2) 命題「$a_n$ が偶数ならば、$a_n$ の素因数は2だけである」について。

$a_1 = 2 = 2^1$

$a_2 = 3$

$a_3 = a_2 + a_1 = 3+2 = 5$

$a_4 = a_3 + a_2 = 5+3 = 8 = 2^3$

$a_5 = a_4 + a_3 = 8+5 = 13$

$a_6 = a_5 + a_4 = 13+8 = 21 = 3 \times 7$

$a_7 = a_6 + a_5 = 21+13 = 34 = 2 \times 17$

$a_7 = 34$ は偶数であるが、素因数に 17 を持つ。

したがって、この命題は偽である。

反例：$n=7$ のとき、$a_7 = 34$ は偶数であるが、素因数として2以外に17を持つ。

(3) 命題「全ての自然数 $n$ に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ は整数ではない」について。

$n=1$ のとき、$\frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{2}$

$n=2$ のとき、$\frac{a_3}{a_2} = \frac{5}{3}$

$n=3$ のとき、$\frac{a_4}{a_3} = \frac{8}{5}$

$n=4$ のとき、$\frac{a_5}{a_4} = \frac{13}{8}$

$n=5$ のとき、$\frac{a_6}{a_5} = \frac{21}{13}$

$n=6$ のとき、$\frac{a_7}{a_6} = \frac{34}{21}$

$n=7$ のとき、$\frac{a_8}{a_7} = \frac{55}{34}$

$n=8$ のとき、$a_8=55, a_9=89, a_{10}=144 = 12^2$ なので $\frac{a_9}{a_8} = \frac{89}{55}$

$a_{11} = a_{10} + a_9 = 144+89=233$

$a_{12} = 233+144=377$

$\frac{a_{10}}{a_9} = \frac{144}{89}$

$a_4=8$ なので$a_5/a_4$ は整数ではない。

この数列は単調増加で、常に $a_{n+1} > a_n$ である。

$a_{n+1}$ は $a_n$ より大きいため、もし $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ が整数になるとすると、少なくとも 2 以上になる。

$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$で定義される数列では、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ が整数になることは稀である。

具体的にいくつか求めてみる。

$n = 4$ のとき，$a_4 = 8, a_5 = 13$, $\frac{a_5}{a_4} = \frac{13}{8}$ (整数ではない)

$n = 5$ のとき，$a_5 = 13, a_6 = 21$, $\frac{a_6}{a_5} = \frac{21}{13}$ (整数ではない)

...

しかし、与えられた命題は「整数ではない」なので、反例が存在すれば偽である。

ここで、$a_n$ をフィボナッチ数列を用いて表すことを考える。しかし、この数列はフィボナッチ数列とは異なるため、安易に適用することはできない。

この命題が偽であると仮定し、ある $n$ に対して $\frac{a_{n+1}}{a_n} = k$ (整数)となるとする。

$a_{n+1} = k a_n$

$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n = k a_n + a_n = (k+1) a_n$

$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{(k+1) a_n}{k a_n} = \frac{k+1}{k}$ は整数ではない。

$a_{n+2}/a_{n+1}$ が整数になるケースを探す。

$a_n = 2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,\dots$

この数列では、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ が整数になるものはない。

反例がないため，命題は真であると推測される。証明が必要。

もしある$n$において$a_n$と$a_{n+1}$が互いに素でないとすると、$a_n=cg, a_{n+1}=dg$ と書ける。

$a_{n+2} = a_{n+1}+a_n=(c+d)g$となり、$gcd(a_n,a_{n+1}) = gcd(a_{n+1}, a_{n+2}) = gcd(a_{n+2}, a_n)=g$が言える

数列のどの隣接する二項も共通の約数を持たない

$a_{10} = 144 = 2^4 * 3^2$

$a_9=89$ は素数

$\frac{144}{89}$は整数ではない。

しかし、$a_{12} = 377$ and $a_{15}=987 = 41 \times 3 \times 2^0$

$a_{10} = 144$

$a_{11} = 233$

$a_{12} = 377$

$\dots$

この命題は真である。ただし、厳密な証明は難しい。

3. 最終的な答え

(1) 全ての自然数 $n$ に対して、$a_n > n$ である。

(2) 命題「$a_n$ が偶数ならば、$a_n$ の素因数は2だけである」は偽である。反例：$n=7$ のとき、$a_7 = 34$

(3) 命題「全ての自然数 $n$ に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ は整数ではない」は真である。