関数 $f(x) = (x-2)^2 e^x$ の増減を調べよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x-2)^2 e^x$ の増減を調べよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = (x-2)^2 e^x$ なので、積の微分法を使うと、

$f'(x) = 2(x-2)e^x + (x-2)^2 e^x$

$f'(x) = (x-2)e^x [2 + (x-2)]$

$f'(x) = (x-2)e^x (x)$

$f'(x) = x(x-2)e^x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x(x-2)e^x = 0$

$e^x > 0$ なので、$x(x-2) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x = 0, 2$

増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :---- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↗ | | ↘ | | ↗ |

$f(0) = (0-2)^2 e^0 = 4$

$f(2) = (2-2)^2 e^2 = 0$

したがって、$x<0$ または $x>2$ のとき増加し、$0<x<2$ のとき減少します。

3. 最終的な答え

$x < 0$ および $x > 2$ で増加、$0 < x < 2$ で減少。